LIMITES PROBABLES DE LA VALEUR DE X
Cette intégrale converge rapidement vers l'unité à mesure que \y^~
augmente ; la table n° 2, insérée à la fin de cet ouvrage, donne ses valeurs pour des valeurs de
augmentant par dixième depuis 0 jusque 2,40. On voit qu'à cette limite, l'intégrale vaut déjà 0,999, ce qui montre bien que « la probabilité que x est compris entre rn ^^^^ m
devient rapidement une quasi-certitude ».
Il ne faut pas perdre de vue, toutefois, que l'expression de cette probabilité n'est rigoureusement exacte que si r est infiniment grand; alors aussi, si ^ et g sont finis, la probabilité peut se changer en certitude, quand même l deviendrait infiniment petit, car il suffit que j/T;
2pî
devienne infini.
Quand r est fini, il y a lieu de rechercher la valeur des facteurs qui correspondent aux termes négligés dans les développements de
prloi\\-{-^ et 9rlog|i— q-
Laurent a donné {Traité du calcul des probabilités ; Paris, 1873) une expression élégante de l'erreur commise dans l'évaluation de la probabilité, ens'arrétant à un terme déterminé. Nous nous bornerons à faire remarquer que, pour les usages pratiques, il suffit de
s'assurer qu'aucun des termes négligés n'a une valeur considérable. Le plus grand d'entre eux est le premier — qui, à la limite, devient —, ou comme p = -, 3/)*^ 3p* ^ r
— . Mais — est toujours au moins égal à 1; il faut
donc que rl^ soit suffisamment faible ou
Cependant, d'autre part, pour que la probabilité des limites ± l reste voisine de l'unité, il faut que
soit plus grand que l, comme on peut s'en assurer par l'examen de la Table précitée. Si l'on remplace p et q par^et!^,
/ |/ -^ devient / [^^ tt""' 'îpq Imn
Le minimum de
-^ est j/2,
Imn ^
pour m = w ; il suffit donc que l y/^r ne soit pas < 1 , c'est-à-dire que dans ce cas extrême de m = n, on aurait encore pour ^ ^ 1 ,
la probabilité des limites ± l, égale à 0,952. On voit que / devant en général être compris entre
et
pour rendre l'approximation de la valeur de x aussi grande qu'on voudra, il suffit de multiplier le nombre r d'épreuves.
