LIMITES DES HYPOTHÈSES
Supposons deux alternatives, dont l'une ait été observée 7000 fois et l'autre^ 3000 ; l'approximation des
valeurs — et — pour la probabilité de chacune de ces
40 iO
alternatives, qui aura une probabilité égale à 0,99,
sera donnée par l'équation
4,85= il/
iOOOO
car pour la limite 1,85, l'intégrale définie de
prise depuis 0, est égale à 0,99. On tire de cette équation
valeur qui satisfait à la condition detre plus petite que 4
Il y a donc 99 à parier contre un que la probabilité de l'alternative qui s'est reproduite 7000 fois est comprise entre 0,738 et 0,662. Si l'on voulait resserrer ces limites, il faudrait faire un plus grand nombre d'épreuves. Ainsi, si ce nombre était porté à 20000, et que le même rapport des nombres de répétitions de chaque alternative se présentât, les limites deviendraient 0,721 et 0,679. On voit que les probabilités des deux alternatives sont ainsi déterminées avec une précision déjà bien suffisante pour la plupart des applications pratiques.
§ 66. — La forme de la limite de la valeur de t,
ll^^
ou/K
nous permet de tirer les importantes conclusions générales suivantes :
V Si les nombres l, r et p varient de manière à laisser la limite de t constante, la probabilité P restera aussi constante. De plus, on voit que cette limite varie en raison directe de l, ou de la lùjiite de f écart entre les valeurs de p ; en raison directe de la racine carrée du nombre r des épreuves, et en raison inverse de la racine carrée du produit ja (1 — p) de la probabilité de A par la probabilité contraire.
2** Après avoir assigné aux nombres ^ et r de certaines valeurs, et trouvé la probabilité P correspondante, donnons successivement à l des valeurs qui soient la moitié, le tiers, le quart, le dixième de sa valeur primitive : il faudra embrasser un nombre d'épreuves 4 fois, 9 fois, 16 fois, 100 fois plus grand, pour avoir la même probabilité que l'écart incertain =i= l tombera entre ces nouvelles limites. En d'autres termes, pour obtenir la même probabilité que les anomalies du hasard, en ce qui concerne la détermi^^ation de x, seront resserrées dans des espaces de plus en plus petits, il faut que le nombre des épreuves croisse en raison inverse des carrés des espaces.
3** Le produit p (1 — p) est très-petit pour des valeurs de p très-peu différentes de zéro ou de l'unité : il atteint sa plus grande valeur quand p = -. Donc,
plus il y a de différence entre la probabilité de A et celle
de l'événement contraire, moins on aura besoin de multiplier les épreuves pour obtenir la même probabilité, P, que l'écart ± l, tombera entre les mêmes limites; ou bien, plus les limites qui correspondent à cette probabilité seront resserrées, le nombre des épreuves restant le même.
§ 67. — La probabilité d'un ensemble d'hypothèses, qui donnent à œ des valeurs comprises entre les limites a et b, est exprimée par
\ x^ (i — x)n dx
xm (i x)n dx
La probabilité que la valeur de x est comprise entre 1 et - est donc
rx=i r\ L
x'^{{—x)'^dx x»^{i — x)'^dx—i'^x^{\ — xYdx
Jx = \ Jo J^
i ^«* (1 — x)« dx j X»» (1 — a;)«
dx
X^ (i — x)»' dx
X»^{i — a;)« dx
Quand on a observé une supériorité marquée dans le nombre de fois qu'un événement se montre, sur le nombre de fois où se montre l'événement contraire, on est naturellement porté à croire à l'existence d'une cause qui facilite l'arrivée du premier événement, de préférence à celle du second; ou, en d'autres termes, on
soupçonne que la probabilité du premier événement surpasse -. Mais ce simple aperçu, qui se fortifie à
mesure que les événements se reproduisent dans le même ordre de fréquence, est susceptible d'être apprécié numériquement; et la probabilité de l'existence d'une cause qui favorise l'arrivée du premier événement, n'est autre chose que la valeur de P donnée par la formule précédente. Il faut bien entendre toutefois qu'il ne s'agit pas ici d'une cause unique définie, mais d'un ensemble d'influences favorables à la répétition de cet événement.
Supposons qu'un événement A ait été observé 10 fois et l'événement contraire B, une fois : la probabilité de cet événement composé aura toujours une expression de la forme (§ 8)
xrn {i — x)» ,
dans laquelle il faut faire ici ^ = 10, n = 1 . — La courbe de possibilité, pour les diverses valeurs de x.
est représentée par 0 pd'B; elle passe par l'origine 0
et par un second point B dont l'abscisse 0 B = 1 ; l'ordonnée maximum, D c?, a pour abscisse
m -\~n ii
La probabilité d'obtenir un événement A de plus sera
et l'hypothèse qui donnerait à x cette valeur a une probabilité moindre que celle qui correspond à 0 D parce qu'on a m > n (§ 60).
La probabilité du système d'hypothèses comprises par exemple entre a; = 0 D et a? = 0 F est représentée par le rapport de la surface F D c? /" à la surface totale OBé^/'O.
Enfin, la probabilité de l'existence d'influences qui favorisent l'arrivée de l'événement A est représentée par le rapport de la surface VpfdJ^V à la surface totale; ou bien, cette probabilité diflfère de l'unité d'une fraction représentée parle rapport de la surface 0 Pp 0 à la surface totale.
§ 68. — Lorsqu'il n'est arrivé que des événements d'une seule espèce, des événements A par exemple, on doit faire n = o dans la formule (F) : alors on a
or
a^dx=^ 1 V?/ 2^+'
170 théorîp: des probabilités.
on en déduit
C'est la probabilité que l'événement qui a été observé m fois sans interruption a une probabilité propre supérieure à -, autrement dit, qu'il existe des influences
constantes qui facilitent sa reproduction.
Par exemple, les 20 planètes qui constituaient notre système tel qu'il était connu à la fin de 1850, ont toutes un mouvement direct. Si l'on regarde le mouvement de ces corps comme la répétition d'un même fait, la répétition de ce fait indique évidemment des influences primordiales qui ont déterminé la direction d'occident en orient, de préférence à la direction contraire. La probabilité de l'existence de ces influences est donnée par la formule (F')
valeur qui se confond pour ainsi dire avec l'unité ou la certitude. On sait que toutes les petites planètes (plus de 170) découvertes depuis 1850, sont aussi de sens direct.
Le relevé des documents statistiques, dont nous parlerons bientôt, présenterait une probabilité bien plus forte encore pour l'existence d'influences naturelles qui donnent aux naissances masculines la prépondérance sur les naissances féminines.
§ 69. — En général, la probabilité qu'il existe des influences favorisant la reproduction d "un événement observé plusieurs fois de suite, croît beaucoup plus rapidement que la probabilité du retour de cet événement à une épreuve subséquente.
En effet, cette dernière probabilité, quand l'événement a été observé x fois de suite, est (§ 6,2)
x-\-i ^""ic + 2'
Cette équation est celle d'une hyperbole, dont la forme est représentée en traits pleins dans la figure ci-jointe. Pour a; = oo on a y=l; c'est-à-dire qu'après un
nombre infini d'observations, la probabilité se change en certitude.
Pour 0? = 0, c'est-à-dire avant d'avoir commencé les épreuves, la probabilité est -, ce qui caractérise l'état de doute sur ce qui va arriver. Pour la probabilité que l'événement n'a pas été produit au hasard, mais qu'il a été facilité par des influences, on aurait (F')
ou
c'est l'équation d'une logarithmique, qui est ponctuée dans la figure précédente. Pour a7 = xonat/ = l.
Ainsi, après la reproduction indéfinie de l'événement, il y a certitude que cette reproduction n'est pas fortuite. Pour œ = 0 on & y == -y ce qui caractérise encore le doute où l'on se trouve, avant la première épreuve, sur l'existence ou la non-existence d'influences favorables à la reproduction de l'événement.
Les deux probabilités convergent donc vers la certitude, à mesure que l'événement se répète, mais d'une manière inégalement rapide : la dernière probabilité croît le plus rapidement.
En effet, pour une même valeur dey, on a
d'où
S'^' "^ * = a? + 2 ; ou bien x = 1 (2^^' — i);
ce qui démontre que les x' positifs sont toujours plus petits que les œ correspondants. L'équation entre ces deux variables est encore celle d'une logarithmique. Le calcul montre que les probabilités sont égales,
Ptar l'eiisteoce d'inflaenees faforablcs Pour le reRoorellement de l'éTéoemeot
après 1 événement. après 2 événements.
§ 70. — Avant de terminer ce chapitre, nous répéterons que la probabilité de chaque valeur particulière de œ est infiniment petite, y compris celle de sa valeur la
plus probable — - — Pour les applications pratiques,
c'est donc le degré d'approximation de cette valeur qu'il importe de connaître. Or, il résulte de la forme de
la limite ^ l ^ que l varie inversement à la racine
carrée de r. Par conséquent, c'est une condition préalable que le nombre d'épreuves ou d'observations déjà faites soit considérable.
A la vérité, l'expression de la limite a été trouvée pour le cas où m et n sont de grands nombres ; mais la conclusion subsiste à fortiori si m et n sont petits et il n'y a pas cercle vicieux. En effet, on pourrait démontrer, comme pour les termes du développement du binôme, que le rapport de m à n restant le même, les probabilités infiniment petites de deux valeurs consécutives de œ diffèrent d'autant moins l'une de l'autre que m et n sont plus faibles. Il en résulte que les éléments de l'intégrale qui exprime la probabilité d'une même limite, ont une prépondérance d'autant moindre sur les autres éléments, et par suite que cette probabilité tend à diminuer.
On peut d'aillerurs remarquer que la probabilité du renouvellement de l'événement auquel correspond œ, deviendra après l'épreuve nouvelle, m -{- \ m m -\- Il -\- S m -\- n -\- Z La différence entre ces deux fractions exprime en quelque sorte l'incertitude qui existe sur cette probabilité. Or, on voit que cette différence est à
très-peu près inversement proportionnelle au nombre d'épreuves antérieures [m -j- n) ou r.
