La probabilité contraire à un événement

[die Ergânzung derWahrscheinlichkeW^) s'estime par un procédé analogue au précédent, c'est-à-dire en divisant le nombre des chances défavorables par le nombre total des chances. Elle représente d'ailleurs la somme des probabilités de tous les événements possible sautres que celui considéré.

Soit m le nombre des chances favorables à un événement ;

Soit n le nombre des chances défavorables.

La probabilité de son arrivée sera

et celle de sa non-arrivée

« La somme de ces deux probabilités doit évidemment êtFe égale à l'unité. »

§ 4. — La principale difficulté du calcul des probabilités réside dans l'énumération de toutes les chances possibles. Quelle que soit la question posée, il est avantageux de chercher à la ramener, par des assimilations, au cas de l'extraction d'un certain nombre de boules hors d'une ou de plusieurs urnes qui renferment des boules de couleurs diverses, ou au jet de dés présentant un certain nombre de faces numérotées.

* Le complément de la probabilité.

Supposons qu'on nous présente une urne remplie de boules qui né différent entre elles que par la couleur, et qu'on nous demande la probabilité que la première boule tirée sera blanche. Pour pouvoir répondre, il nous faudra des renseignements préalables sur le contenu de l'urne. Si, par exemple, on nous dit qu'elle renferme deux boules blanches, trois noires et quatre rouges, en tout neuf boules, la probabilité que la première boule

tirée sera blanche est -.

Il n'est même pas nécessaire qu'on nous dise combien il y a de boules en tout, et qu'on nous indique le nombre des boules de chaque couleur : il suflSt que nous connaissions le rapport de ces derniers nombres. Il est clair, en eifet, que la probabilité de tirer une boule blanche resterait la même, si l'urne renfermait :

4 boules blanches, 6 noires et 8 rouges ; ou 6 — — 9 — 12 — etc.

Cette proposition, que Laplace a démontrée directement [Essai philosophique sur les prohabilités), résulte suffisamment de l'égalité des fractions, qui ne diffèrent entre elles que par un facteur commun au numérateur et au dénominateur.

Ce genre de questions, dans lequel le nombre des chances de chaque espèce (ou du moins le rapport de ces nombres) peut être déterminé et se déduit à priori de l'énoncé de la question, se rattache à une branche particulière du calcul des probabilités, qu'on nomme détermination à.Q^ probabilités à priori : c'est la partie

purement mathématique de la science, et celle qui fait l'objet de notre première section.

En général, dans les différents jeux qu'on nomme jeux de hasard, le nombre des chances est limité et leur nature est connue ; mais il n'en est pas de même dans ce qui se rapporte aux sciences d'observation. L'urne qui renferme le secret de la nature est ouverte devant nous ; il nous est permis de faire autant de tirages que nous le voulons ; c'est-à-dire de multiplier les épreuves ou les expériences; mais l'urne est inépuisable : nous ne conapterons jamais le nombre de boules qu'elle renferme, et ce n'est que par induction que nous pourrons nous donner des lumières sur son contenu. La détermination des probabilités à posteriori a pour objet cet autre genre de questions : le nombre total des chances y est illimité, et ses rapports avec le nombre des chances de chaque espèce sont inassignables.

On entrevoit déjà que, dans la détermination des probabilités à priori, qui est ordinairement ramenée au tirage d'un certain nombre de boules de couleurs désignées, on a souvent besoin de calculer le nombre des combinaisons d'une certaine espèce qu'on peut former avec n éléments, distincts ou non. Nous allons donc rappeler ici, en peu de mots, les principales formules de la théorie des combinaisons numériques.

§ 5. — Soient des éléments distincts en nombre m à combiner entre eux; et, pour fixer les idées, désignons-les par les lettres :

NOTIONS PRÉLLMINAIRES, ETC. 29

Pour former toutes les combinaisons 2 à 2 dont ces éléments sont susceptibles, on pourra combiner l'élément a, avec chacun des (m — 1) restants, ô, c, ...k,l; puis l'élément b, avec chacun des (m — 1) autres éléments, a, c, ... k, l ; et ainsi de suite; ce qui donnera en tout un nombre de combinaisons exprimé par le produit m (m — 1). Mais de cette mg,nière il est évident que chaque combinaison (celle de a et de &, par exemple) aura été obtenue deux fois, savoir : en combinant d'abord & avec a ; puis en combinant a avec b : le nombre des combinaisons proprement dites, c'est-à-dire qui diffèrent entre elles au moins par un élément, sera donc exprimé par

Les combinaisons ternaires se formeront en associant successivement chaque combinaison binaire {a b) avec chacun des (m — 2) éléments restants c, ... k, l. Par là on obtiendra trois fois la même combinaison (a b c), savoir : en combinant (a b) avec c ; {a c) avec b ; (b c) avec a. Le nombre des combinaisons ternaires

sera donc

On conclut, par une induction évidente, que le nombre des combinaisons distinctes entre m éléments pris n kn a pour valeur

mC = — -~ — ' \})

n 4.2. 3... Ji

§ 6. — Si l'on associait à l'idée générale de combinaison celles de certaines relations d'ordre ou de position, en sorte que la combinaison (6 a) dût être réputée différente de [a b), les combinaisons regardées comme identiques dans le raisonnement précédent cesseraient de l'être; par suite les m éléments fourniraient m{m — 1) arrangements binaires, m[m—\) (m — 2) arrangements ternaifes, et en général un nombre d'arrangements n an représenté par

§ 7. — Puisque le nombre des arrangements entre m éléments pris n à n est exprimé par le produit (2), tandis que le nombre des combinaisons se trouve exprimé par le quotient (1), il est évident que le dénominateur de cette dernière expression ou le produit

représente le nombre de tous les changements d'ordre ou de toutes les permutations possibles entre n éléments . C'est, du reste, ce qu'il serait facile de prouver par un raisonnement direct.

Si les n éléments à permuter devaient être rangés dans une série circulaire, et qu'on ne dût pas avoir égard aux lieux absolus qu'ils occupent, mais seulement à l'ordre suivant lequel ils se succèdent, le nombre des permutations distinctes se réduirait à

En effet, comme on peut rompre le cercle à la place occupée par un quelconque des n éléments, chaque

combinaison circulaire donne lieu à n combinaisons rectilignes ; autrement dit, le nombre des premières est n fois moindre que le nombre des dernières.

§ 8. — Il est bon d'observer que le nombre de combinaisons de m éléments n à n est le même que le nombre de combinaisons de ces m éléments (m — n) à (m — n). En effet, à chacune des premières correspond une combinaison (m — n) à (m — n) fournie par les éléments qui n'entrent pas dans la combinaison considérée, et réciproquement.

§ 9. — Applications. — 1** Sur m éléments proposés on en désigne m! : Quel est le nombre X de toutes les combinaisons v à. v, dont chacune renferme v' des éléments désignés et non plus?

vV ' (v — v)l

Exemple : dans combien de combinaisons 4 à 4 formées avec les dix premières lettres de l'alphabet, la lettre a entre-t-elle?... m' =: îj' = 1 ; d'où X = 84.

Combien de ces combinaisons contiennent a sans à 0U& sans a?... m' = 2; »' = 1 ; d'où X = 112.

Combien renferment aetb ensemble?,.. m' = 'y'=2; d'où X = 28.

Combien ne renferment ni a ni b?... m' ^2',v' = o; d'oùX = 70 = 8C4. {Ici m' C„ == m' C (m' — o) = 1.)

Combien renferment deux des trois lettres a, b, cf... m' = S;v' = 2; d'oùX = 63.

2° Parmi tous les arrangements de m éléments v àv.

quel est le nombre x de ceux qui commencent par v' éléments sur m' désignés, et ne renferment que ces t;' là sur les m'?

Ainsi, sur les 840 arrangements de 7 lettres prises 4 à 4, il y en a 72 qui commencent par deux des trois lettres a, h, c et ne renferment pas la troisième.

Si l'on demandait simplement que v' (au moins) des m' éléments désignés commencent les arrangments considérés, le nombre de ceux-ci serait :

Pour l'exemple traité plus haut, œ est égal à 120.

3** Quel est le nombre y des arrangements de m éléments V k V dans lesquels se trouvent l'un près de l'autre, v' éléments sur m' désignés, ces v' étant aussi les seuls parmi les m' dans un même arrangement ?

Ainsi, sur les 24 arrangements de 4 lettres 3 à 3, il y en a 18 où la lettre a se trouve ; 4 qui commencent par les deux lettres a et ô,- et 8 où a et & sont voisins.

De même sur les 360 arrangements de 6 lettres 4 à 4, il y en a 240 qui contiennent la lettre a et 108 où se trouvent l'une à côté de l'autre deux des trois lettres a, b, c, la troisième n'y étant pas.

Si l'on ne demande pas que les v' éléments voisins soient les seuls des m' dans un môme arrangement, le

nombre cherché est représenté par une somme dont chaque partie est de la forme :

n étant le nombre des éléments m' contenus, en dehors des-y', dans les arrangements considérés ; n peut varier, par conséquent, de o à v — v\

Parmi tous les arrangements de 6 lettres 4 à 4, le nombre de ceux où deux des trois lettres a, b, c sont voisines, la troisième étant ou non dans les arrangements considérés, est égal à :

4° Quel est le nombre r des arrangements de m éléments V kv qui renferment v' éléments sur m' désignés et non plus?

Dans ce cas, les v' éléments ne doivent plus être nécessairement voisins.

r=XxA .

Remarque générale. — On pourrait demander dans chacun des cas que nous avons traités, que v>' fût le nombre minimutn des éléments désignés qui se trouvent dans les combinaisons ou les arrangements répondant à la question; les X, œ, y, ... se changeraient alors en SX, Sa;, Sy ... (somme de X, x, y ...) et ces sommes seraient formées de valeurs de X, a?, 2/ ... pour v' égal successivement k v', v' -{- l, v' -{- 2 ...,v.

Ainsi dans les arrangements de 6 lettres 4 à 4. le

nombre de ceux qui renferment au moins deux des trois lettres a, b, c (voisines ou non), est égal à :

Sr^ 3=216 + 72 = 288.

5** Dans un jeu de 52 cartes contenant 13 cœurs, on tire 4 cartes au hasard. Quelle probabilité y a-t-il que ces 4 cartes renferment 3 cœurs ?

Le nombre total des chances est

Le nombre des chances favorables est représenté par X, en faisant m = 52; v ^ 4; v' = 3; m' = 13; d'où

X=illi!li*x39.

La probabilité demandée se réduit donc à 0.041. Si l'on avait demandé qu'il y eût au moins 3 cœurs parmi les 4 cartes tirées, la probabilité eût été :

0,041 H ^3.11.5 ^QQ^gg ^

Remarque. — La question pourrait être traitée en partant de la formule r, si, par exemple, on considérait subsidiairement l'ordre dans lequel les cartes se présentent dans les tirages. Il est facile de reconnaître d'ailleurs que le résultat serait le même, puisque A4 est alors facteur commun au numérateur et au dénominateur de la probabilité.

6** Six personnes doivent se ranger sur un banc dont les places sont tirées au sort : trois amis désirent

être voisins. Quelle probabilité y a-t-il que cela arrivera?

Le nombre total des chances est 6 Ag == 720.

Le nombre des chances favorables est y, en faisant m = tJ == 6 ; m' = -y' = 3 ; d'où y = 144. La probabilité

cherchée est donc - = 0,2.

7° Même question, eu supposant les amis rangés autour d'une table.

Le nombre total d'arrangements est ici L 2. 3. 4. 5.

Si nous regardons le système des trois amis comme ne formant qu'un seul élément, les quatre éléments du cercle pourront s'arranger de 1. 2. 3 manières distinctes; mais pour chacune de ces manières, les trois amis peuvent permuter entre eux. Le nombre des chances favorables est donc ici 1. 2. 3 X 1. 2. 3 et la probabilité 0,3.

La réponse à cette question aurait pu se déduire du 6°, en supposant que l'on ploie le banc en forme circulaire. Le nombre des chances favorables devient alors 144 -}- 2 a?, en calculant œ par la formule (2'') dans laquelle m = 6; v = 5; m' = 3; îj' = 2; d'où

X = 36. La probabilité est donc — = 0,3.

Si l'on demandaitquel'un des amis, B, se trouvât entre les deux autres, A et C, la probabilité se réduirait à 0,01. En effet, il est évident que dans les arrangements considérés précédemment, chacune des lettres A, B et C occupe le même nombre de fois le milieu du groupe des trois ; par conséquent, le rapport des deux probabilités est 1 à 3.

§ 10. — Le nombre d'arrangements que peuvent

présenter (m -\- n) éléments distincts pris ensemble est

(m+n)(m + n— l)(în-fn — 2). ..4.3.2. l = (m4-n)A, , ,

Supposons qu'on identifie m des éléments, le nombre

d'arrangements se réduira à

mX m

OU

w(m — I)(m — 2) ... 4.3.2.1 car les arrangements primitifs, qui ne diffèrent que par des transpositions d'ordre dans le groupe des m éléments identifiés, deviennent eux-mêmes identiques entre eux.

Si dans les nouveaux arrangements on identifie encore n éléments, il ne reste plus que

mA x»A n

arrangements distinctifs, qui sont formés de deux éléments pris l'un en nombre m et l'autre en nombre n. Ces éléments peuvent représenter des événements de même ordre, mais de nature différente et qui se succèdent; alors la formule (5) indique le nombre de modes de succession distincte possible.

L'analogie indique suffisamment que, s'il s'agissait de partager un groupe total àe (m -]- n -\- p) éléments en trois groupes partiels, comprenant respectivement m, net p éléments, le quotient