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exprimerait en combien de manières distinctes ce partage peut s'opérer ; qu'il exprimerait pareillement combien de séries distinctes on peut former avec m lettres a, n lettres & et p lettres c.

§ 11. — Nous avons considéré jusqu'ici des combinaisons, arrangements, permutations, formés avec des éléments tous distincts. Lorsque quelques-uns sont identiques, ou, ce qui revient au même, lorsque les mêmes éléments peuvent être reproduits dans un même groupe (comme les lettres dans les combinaisons alphabétiques, les chiffres dans les combinaisons numérales), les combinaisons et les arrangements sont dits : avec répétition.

Avec m lettres a, b, c,... k, l, on formera de la sorte m^ arrangements deux à deux.

aa, ab, ac... ak, al; ba, bb, bc... bk, bl; etc.

qui tous diffèrent les uns des autres, ou par les lettres employées, ou par l'ordre dans lequel elles sont écrites. On formerait, avec les mêmes lettres, m^ arrangements 3 à 3 et, en général, m° arrangements n k 7i. Donc

§ 12. — Pour les combinaisons, il est facile de voir que, lorsqu'on assemble les éléments 2 à 2, la faculté de répéter le même élément revient à donner un élément de plus, ou à remplacer m par (m -j- 1) dans la formule des combinaisons sans répétition.

Lorsque l'on combine m éléments 3 à 3 avec répéti-

tien, c'est comme si l'on combinait (m -|- 2) éléments sans répétition, etc. ^^

Donc, la formule qui donne le nombre des combinaisons de m éléments n à n avec répétition, se déduira de la formule (1) en remplaçant dans celle-ci m par m -\- n — 1. On aura de cette manière :

En multipliant les deux termes du second membre par 1, 2, 3... (m — 1), on obtient

m CCn = •

Le second membre restant le même lorsqu'on y change (m — 1) en n et n en {m — 1), a donc aussi pour valeur (n -|- 1) OC^m- i)-

Donc « les combinaisons avec répétition de m élé- « ments w à n et de (n -f- I) éléments {m — 1) à (m — 1) sont en même nombre. -»

Par exemple : il y a 715 combinaisons avec répétition soit de 10 lettres 4 à 4, soit de 5 lettres 9 à 9.

Quand on projette deux dés à jouer, chacune des six faces du premier dé peut se présenter avec chacune des six faces de l'autre dé, aussi bien avec la face similaire qu'avec les autres ; ce qui donne un nombre d'arrangements exprimé par le carré de 6 ou par 36. Mais si l'on n'a égard qu'aux points amenés, par exemple deux et trois, sans examiner si le point deicx se trouve sur le premier dé et le point trois sur le deuxième, ou

inversement, le nombre de coups distincts se réduira à 6x 7

= 21 = (6 + i) CC2.

Avec trois dés le nombre d'arrangements différents s'élèverait à 6^ = 216, et celui des coups distincts serait seulement de