L><AX ^ 56 = (6 + 3 — 4) CC

§ 13. — La formule du binôme

{x-]-a)^ = x'^-\-max»i-^ l^("^— •^ a^x»*-^-|- ... 4-a"»... (8)

donne, quand on fait ^ = 1, a = 1, et qu'on transpose le premier terme du second membre,

Donc « la somme de toutes les combinaisons poste sibles entre m éléments, quand ou les prend un à « un, deux à deux, trois à trois, etc., et enfin tous « ensemble, est égale 4 2"^ — 1, »

Posons, dans la formule (8), x = l, a = — 1 ; transposons le premier terme du second membre et changeons tous les signes, il viendra ^m m{m-i) rn(m-i)(m-^)

La partie additive du second membre de cette dernière équation est la somme des nombres de combinaisons d'ordre iinpair, ou un à un, trois à trois, cinq à cinq, etc. La partie soustractive est la somme des nombres de combinaisons d'ordre pair, c'est-à-dire

deux à deux, quatre à quatre, etc. Or, si l'on ajoute membre à membre les équations (9) et (10), la somme des combinaisons d'ordre pair disparaîtra, et l'on trouvera le nombre des combinaisons d'ordre impair égal à la moitié de 2*" ou à 2"^~ '; par suite, le nombre des combinaisons d'ordre pair sera 2"^ — 1 — 2'" ~ ' = 2°^-^— 1.

« Le nombre des combinaisons d'ordre impair sur- « passe donc toujours d'une unité celui des combinai- « sons d'ordre pair, quel que soit le nombre m, pair ou « impair. »

Il suit de là que, dans le jeu de pair ou impair, il y a avantage à deviner impair ; mais cet avantage est ordinairement très-faible, ainsi que nous le verrons plus loin .

§ 14 — Nous terminerons par quelques exemples numériques cette exposition succincte des principes les plus généraux de la théorie des combinaisons.

1° Dans la Loterie royale de France, établie sous l'ancien régime, supprimé en 1793, rétablie en 1797 et définitivement abolie en 1839, on comptait 90 numéros dont on tirait cinq au sort ; il y avait donc : "

90 extraits, ou combinaisons 1 à i, possibles;

— '- — == 4005 anibes, ou combinaisons 2 à 2 ; 4. 2