RENTES VIAGÈRES

rances sur la vie, aux caisses d^épargne, etc. Nous nous contenterons d'en dire quelques mots, pour faire comprendre le but et le mécanisme de ces spéculations.

Considérons chacun des v individus compris dans la table de mortalité à un âge donné, comme devenant propriétaire d'une rente viagère^ a, ou comme devant, pendant toute la durée de sa vie, toucher annuellement cette somme d'une personne que je nommerai le banquier. Chacun des viagers devra verser, au commencement de l'entreprise, un capital A qu'il s'agit de calculer.

Au bout de la première année, les v rentiers sont réduits à v , et le banquier doit payer v' a.

Au bout de la deuxième année, il payera r"a, et ainsi de suite jusqu'à l'âge où finit la table de mortalité.

Mais si r représente l'intérêt d'un franc , ces rentes successives, rapportées à l'instant où le banquier a touché les capitaux, c'est-à-dire au commencement de la première année, ne lui coûteront que

Les V rentiers auront dû verser par conséquent, au commencement de la première année, une somme totale

1 + r "^ (1 + r)« "^ (1 + rf "^

et chacun d'eux aura payé

etc.

v M 4- r ' (1 + r)* ' (i + rf

OU bien, faisant

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les décès des rentiers avaient lieu à la fin de chaque année. Mais comme il n'en est pas ainsi, et qu'on paye aux héritiers une partie de la rente proportionnelle au temps que le rentier a vécu, il faudrait, pour être plus exact, substituer, comme nous l'avons déjà indiqué

Ce n'est que pour les premières années de la vie que la marche de la mortalité est irrégulière : plus tard, le nombre annuel des morts devient sensiblement con~ stant, et Moivre observe que, sans trop s'écarter de la vérité, on peut n'établir qu'une seule progression depuis 22 ans jusqu'à 86 ans. C'est du reste ce que montre la courbe de mortalité (p. 222) qui est sensiblement rectiligne dans cet intervalle.

Cette remarque est propre à simplifier le calcul précédent; car soit d le nombre annuel des morts, la formule (9) deviendra

(10) ... A =^ [(i;-d) + (v~2(i) qJriv-^) ?« + - + («-«d) q"'] ;

n représentant le nombre d'années de la période. Cette expression se décompose dans les deux suites :

( aq[i + q-^fJrq'-\-- • • • • • + î"~')

La première suite a pour valeur

l\—qn