RENTES VIAGÈRES
Pour trouver celle de la seconde, observons que
dq dq
on a donc enfin
Remarque. Les rentes sur deux têtes se calculent d'une manière analogue, en substituant aux probabilités — ,—.... les valeurs successives de la quantité 1 — dd\
qui, avons-nous vu (§ 92), exprime la probabilité de l'existence de l'une au moins des deux personnes sur les têtes desquelles la rente est constituée.
§ 94. — Nous distinguons deux sortes de tontines : dans la première, un certain nombre d'individus du même âge sont supposés verser ensemble une certaine somme A, qui, au bout de n années, doit être partagée entre les survivants, proportionnellement à leurs mises. Cette spéculation peut être assimilée à un pari entre chaque associé et tous les autres, pari que le premier gagne s'il vit encore au bout de n années : on peut donc, par la règle de l'espérance mathématique, calculer la somme que lui rapportera une mise déter^ minée, ou réciproquement, la mise qu'il doit verser pour avoir un droit éventuel à une somme déterminée.
Cherchons, par exemple, la mise que doit verser un individu âgé de 20 ans, pour toucher, à l'âge de 60 ans,
une somme probable de 50,000 francs : on aura
En effet la mise x prend, pour l'époque du remboursement, la valeur ^ ; et la somme à recevoir n'étant
qM—20
qn éventuelle, vaut sa valeur absolue, multipliée par la probabilité — de l'obtenir. Nous représentons par v^o et
f2o les nombres proportionnels d'individus vivant à 60 ans et à 20 ans.
an
Si l'intérêt de l'argent est de 5 p. c, on a g' = —, et
l'on trouve
X = 3550 francs.
La seconde espèce de tontine n'est au fond qu'une annuité à terme probable. Dans ce placement, les associés survivants héritent encore des morts ; mais ils sont rentiers, c'est-à-dire qu'on leur sert chaque année une rente qui s'accroît au fur et à mesure des extinctions arrivées.
Soit A la somme placée en commun ; a celle que le banquier paye chaque année à tous les survivants réunis; n le nombre d'années qui doit s'écouler jusqu'au tenne de la table de mortalité : on aura d'après la théorie des annuités
(^*) •••• -ir=-?r=1 + -;r=i + -i^ + •••• + «
ou
(14') .... X=éa
i-q ) Telle est la relation qui existe entre la mise totale et
