TONTINES

la somme à payer annuellement par le banquier. En supposant que cette dernière doit être fournie jusqu'à l'âge le plus avancé de la table de mortalité, nous avons raisonné dans l'hypothèse d'un grand nombre d'associés : dans le cas contraire, le banquier leur ferait tort en éloignant ainsi l'extinction probable de l'association. En stricte équité, il faudrait, avec Saint-Cyran (Recherches sur les emprunts, 2^ partie), prendre pour ce

terme l'année où il y aura la probabilité - que tous les

rentiers seront éteints, c'est-à-dire celle pour laquelle

le terme dd' d" d'" ... (§ 92) deviendra égal à -. Le

calcul de cette année ne peut se faire analytiquement que par voie de tâtonnements ; mais comme la courbe de mortalité est presque rectiligne dans l'intervalle entre 22 et 86 ans, on peut l'obtenir géométriquement d'une manière beaucoup plus rapide.

Il est à remarquer que la loi de Saint-Cyran n'est pas absolument d'accord avec le principe de l'égalité des espérances mathématiques. En effet, si le nombre des rentiers est faible, le calcul de a doit se faire par la formule suivante :

k',k",k"' ... kn exprimant les probabilités de survie d'au moins un des associés au bout de 1, 2, 3 ... w années, c'est-à-dire représentant les valeurs successives de 1 — c^ 6^' ^" rf'" .. .

La longueur des calculs auxquels donnent lieu cette formule et d'autres analogues employées dans des cas

semblables, a fait rechercher quelle devrait être la loi de mortalité pour qu'on pût remplacer un groupe d'individus par un seul ayant la même probabilité de s'éteindre à une époque donnée que le groupe considéré. On trouve ainsi une loi qui est à très-peu près celle donnée par Gompertz pour l'interpolation approximative des tables de mortalité. Voici cette dernière :

llf^\ est la probabilité de survie au bout de x années ;

Net g sont des constantes. Quand on fera usage de cette formule, la simplification cherchée pourra avoir lieu. Si les rentiers ne devaient hériter que d'une portion du revenu des décédés, de la moitié par exemple, le banquier aurait à payer, à la fin de la l'* année,

rentes ; à la fin de la 2«,

rentes, et ainsi de suite. On aurait donc, en reportant chaque rente à l'époque du versement,

(H") ... A =-^ { (v + V') ? + (î^ + V") ?* + (u + V") 9' + ... etc.j; et chaque rentier toucherait les sommes (^ + ^') '^ à la fin de la P* année; ^^ + ^') "■ à la fin de la seconde, etc.

§ 95. — La théorie des caisses de prévoyance, de secours, de retraite, etc. , ne difiere pas beaucoup de celle des rentes viagères sur une seule tête ; et celle des