CAISSES DE PRÉVOYANCE, DE RETRAITE, ETC
SOUS la garantie de l'État, a pour but de fournir à toute personne vivant de son travail les moyens de garantir sa vieillesse contre le besoin, par la constitution d'une rente viagère.
L'acquisition d'une rente peut se faire, au choix de l'assuré, pour entrer en jouissance à 55, 60 ou 65 ans : le prix de la rente est naturellement d'autant moins élevé que l'assuré est plus jeune, et que l'entrée en jouissance est fixée à un âge plus avancé. Ainsi, il faut verser une seule fois, pour acquérir une rente annuelle de 120 francs,
M Si Ventrée en jouissance est fixée : »
Fr.
Fr.
l'âge de 18 ans.
à l'âge de 18 ans. 97
Pour pouvoir acquérir, au bout d'une seule année,
une rente annuelle de 12 francs, il faut épargner par
jour,
« Si l'entrée en jouissance est fixée : »
Fr.
Fr.
diî 17 à 18 ans. »'
de 17 à 18 ans.
— 22 ïT 23 — »
De pareilles institutions se recommandent assez par elles-mêmes.
Pour les caisses de veuves^ si chaque homme marié doit faire un seul versement a, et sa veuve recevoir une fois pour toutes un capital A, le versement deviendra — pour l'époque probable de son remboursement,
puisqu'il doit rester placé pendant la durée probable, p, du mariage. Mais à cette époque, le capital A ne sera payé qu'éventuellement; et, d'après la formule de l'espérance mathématique, il ne vaut que A multiplié par la probabilité [e'd] que le mari sera mort et la femme vivante.
Si la condition est encore un seul versement de la part du mari, mais une pension à payer à la veuve, il suffira de substituer au nombre v, dans l'équation (12), le nombre ee' calculé d'après des tables appropriées à la classe d'individus dont il s'agit ; et aux nombres *'n' Vn + \'-" celui des femmes qui deviennent veuves chaque année, lequel est la différence des valeurs de [e' d) d'une année à l'autre.
Enfin, si les payements sont faits annuellement, tant par les associés que par la caisse, alors c'est l'équation (12') qu'il faudra employer, en substituant • aux V, Vy, v^... du premier membre les valeurs successives de (ee'); et aux v^, ^,t + i.... du second membre, celles de (e' d) qui désignent le nombre de veuves existantes à la fin de chaque année.
Faisons ici une remarque générale : c'est que toutes les opérations dont nous avons parlé jusqu'ici ont des frais d'administration, qui doivent être supportés par tous les membres de l'association. De plus, tant que l'association est peu nombreuse, la caisse doit prendre
quelque avantage, afin de parvenir à former un fonds de réserve qui puisse parer aux irrégularités que la succession des événements présente par intervalles; sinon elle risquerait de se trouver hors d'état de remplir ses engagements. Elle donnera donc un intérêt moins fort que le taux ordinaire, ou fera une retenue sur les sommes versées par les sociétaires.
§ 96. — Le but des assurances sur les choses est de soustraire toute espèce de propriété aux éventualités du hasard, en accordant une compensation pécuniére à Y assuré qui devient victime d'un sinistre. Cette opération était à peine connue il y a quelques siècles : aujourd'hui, par suite du progrès des institutions commerciales et de l'esprit d'association, elle tend à devenir un des actes les plus ordinaires de la vie : dans tous les pays, il existe un grand nombre de compagnies qui assurent les vaisseaux et les marchandises contre les risques de la mer ou de la guerre; les maisons contre les incendies, les récoltes contre les intempéries des saisons, etc.
Pour réduire la question à l'état le plus simple, ne considérons que deux événements, l'un entièrement heureux dont la probabilité soit h ; l'autre, malheureux, dont la probabilité soit h' : ce dernier imposera à l'assureur de payer une somme a. Désignons par n le nombre d'objets assurés (de vaisseaux, par exemple), et par h la prime d'assurance, ou la somme que l'assureur reçoit pour chacun d'eux.
Cela posé, la somme des termes du développement
de (h -\- hj\ à partir du V terme jusqu'au terme affecté de h''~'^ h'^, exprime (§ 23) la probabilité que le nombre des événements malheureux ne surpassera pas q : arrêtons cette somme au {q' -\- 1)^""^ terme, où elle est au moins égale à la probabilité à laquelle l'assureur veut arriver de ne pas faire une perte plus grande que c; q' a — n b sera la perte correspondante à cette probabilité. En l'égalant à c, on aura
q'a — nb = c ;
d'où j, ^ q'a — c
Désignons maintenant par g le gain auquel on peut
viser dans une opération semblable, et soit alors q" le
nombre réduit des sinistres à payer : nous formerons
l'équation
nb — q"a = gf :
y remplaçant nb par sa valeur tirée de l'équation précédente, nous aurons
relation qui permettra de calculer q" au moyen de q'àéyk
connu. Calculant alors la probabilité correspondante
à q", on verra si elle donne une espérance suffisante
d'atteindre le bénéfice attendu. Si cela n'était pas, il
faudrait augmenter la prime d'assurance.
Mais l'équation
nb — g a
fait voir qu'on peut aussi augmenter la probabilité correspondante à q" , en augmentant le nombre des
objets assurés. Et en effet, le rapport — - — devenant
alors de plus en plus petit, la somme des termes compris entre ceux qui sont affectés de M~'^' h'^' et de h^~'^"h''^" et qui composent la différence des probabilités de perte et de gain, décroît de plus en plus.
Pour bien concevoir l'usage de ces formules, il est à propos de se former une idée de la marche des valeurs qu'elles prennent dans des cas particuliers : à cet effet, supposons, avec Lacroix,
et formons les douze premiers termes du développement
de /^iJLH
llOO 100/ '
avec les sommes résultant de l'addition successive de ces
termes.
