MOYENNE ET LIMITES

§ 97. — La détermination des valeurs numériques par l'observation ne paraît pas susceptible d'une exactitude absolue. On constate, en effet, si l'on répète plusieurs fois les mêmes opérations, que, quelque soin qu'on y ait apporté, les résultats ne sont jamais absolument identiques. Le fait est général dans toutes les sciences. A force de soins et d'habileté, on peut parvenir à réduire les discordances à des quantités trèsfaibles, mais il est sans exemple qu'on ait réussi à les faire disparaître complètement. Ces discordances résultent de ce que les conditions physiques des opérations ne sont pas réellement les mêmes à chaque renouvellement des expériences; elles sont aussi en partie dues à l'imperfection des sens et de l'entendement de l'homme. Quoi qu'il en soit, il est reconnu que toute mesure expérimentale est inévitablement entachée d'erreur, et la question se pose de savoir quelle valeur il convient d'adopter quand on se trouve en présence de plusieurs expressions de la même mesure, c'est-à-dire quelle compensation on peut opérer entre les erreurs.

Avant tout il faut remarquer que, dans la pratique,

les erreurs sont de deux espèces : les unes sont systématiques et se reproduisent régulièrement chaque fois qu'on répète les opérations dans les mêmes conditions ; ces erreurs sont généralement de valeur constante et par suite le plus souvent elles ne peuvent être mises en évidence par la comparaison des résultats. Les autres, qu'on appelle erreurs accidentelles^ irrégulières ou fortuites, prennent, au contraire, des valeurs variant d'une manière tout à fait indéterminée, et sont sans relations réelles ou connues entre elles.

§ 98. — Les erreurs systématiques, si l'on ne parvient pas toujours à les éviter, peuvent du moins ordinairement être prévues. Elles proviennent en effet de ce qu'on ne réalise pas rigoureusement dans les opérations toutes les conditions reconnues nécessaires et qu'on y suppose remplies. C'est à l'expérience scientifique de l'observateur de découvrir les faibles imperfections des appareils ou des procédés employés d'où naissent les erreurs de cette espèce. Ainsi, un étalonnage inexact des règles destinées à la mesure d'une base géodésique, l'emploi dans un baromètre ou dans un thermomètre de mercure mal épuré, une position défectueuse de la ligne de mire dans une arme à feu, en général une déviation quelconque mais permanente dans les conditions normales d'un appareil, donnent lieu à des erreurs systématiques ; de même l'adoption d'un coefficient numérique inexact, ou une action extérieure ^continue qui altère les conditions d'observation. On conçoit que les erreurs systématiques ne sont pas

nécessairement constantes, mais en quelque sorte produites régulièrement ; dans la plupart des cas cependant elles ne varient pas. Il en résulte que les discordances entre les diverses mesures de la même quantité ne sont généralement pas dues à ces erreurs ; leur existence ne peut donc être révélée que par l'examen approfondi des conditions eifectives des opérations, ou par un désaccord d'ensemble entre des séries diflférentes des mêmes mesures.

Il est évident qu'aucune compensation ne peut être faite entre les erreurs systématiques ; par suite, puisque les corrections nécessaires sont inconnues, les observations affectées d'erreurs de cette espèce ne peuvent être utilisées.

Il n'en est pas de même dans le cas des erreurs de seconde espèce. Celles-ci se distinguent par la variabilité dans leur reproduction et dans leur valeur à chaque mesure nouvelle. Elles proviennent cependant aussi de causes dépendantes de la nature des opérations, mais de causes non permanentes et agissant irrégulièrement. C'est ainsi que souvent elles sont dues à des déviations accidentelles dans les appareils, qui, si elles étaient constantes, produiraient des erreurs systématiques. Telles sont, dans le tir d'une arme à feu, les inégalités imprévues des charges ou les irrégularités de forme, de poids et d'excentricité du projectile; ou, dans le pointé d'une lunette, les réfractions latérales, les ondulations dé l'atmosphère, les phases inattendues du signal ou le changement d'éclat de l'astre observé ; de même dans les déterminations barométriques ou

thermométriques, certaines altérations inappréciables de la conductibilité et du rayonnement calorifiques.

En général, on attribue encore à des erreurs accidentelles toutes les faibles discordances dont l'examen le plus attentif des observations ne peut faire soupçonner les causes et qui sont dues soit à l'opérateur, soit à des conditions inconnues d'exactitude que les progrès de la science peuvent seuls révéler.

Les erreurs accidentelles sont donc pour nous essentiellement incertaines, variables et indéterminées. Elles sont, en outre, le plus souvent de véritables résultantes de plusieurs causes qui se combinent ou agissent isolément, mais toujours à notre insu. Nous sommes ainsi amenés à les considérer comme dépendant du hasard, par lequel nous exprimons notre ignorance des causes. Cette idée, qui simplifie la recherche d'une formule de compensation, n'est évidemment qu'une hypothèse gratuite, car, en réalité, ces erreurs dépendent, dans chaque cas particulier, de déviations spéciales à la nature des observations. Mais le hasard sert ici, comme précédemment, à expliquer les variations des événements produits dans des circonstances en apparence les plus identiques. Si l'on considère, par exemple, le jet d'un dé ou d'une pièce de monnaie, ou le tirage d'une boule d'une certaine couleur hors d'une urne contenant des boules de couleurs différentes, etc., chaque événement particulier, que nous attribuons au hasard, est en réalité déterminé par un enchaînement de causes rigoureux mais insaisissable pour nous. De même la production d'une erreur accidentelle plutôt que d'une autre peut,

dans notre ignorance des causes réelles, être attribuée au hasard; ces erreurs, en effet, qui sont toujours des quantités très-faibles, semblent dépendre des moindres accidents de chaque épreuve, comme l'arrivée de l'une plutôt que de l'autre face d'un dé, ou l'extraction d'une boule plutôt que celle de sa voisine dans l'urne, etc.

L'intérêt que nous avons à admettre un principe déterminé pour la production des erreurs accidentelles est d'ailleurs le même que celui qui a fait adopter le hasard comme cause représentative dans les événements soumis à des chances inconnues. Il s'agissait d'arriver à formuler une loi de probabilité de ces événements. De même ici il s'agit d'exprimer la probabilité de chaque erreur ou plutôt d'une valeur particulière quelconque pour l'erreur, car il sera facile ensuite d'en déduire un mode de compensation. C'est donc un intérêt d'ordre pratique, bien distinct de la réalité scientifique, mais cependant essentiel, parce qu'il est impossible de ne pas chercher à corriger des résultats contestés par d'autres de même origine et de même autorité, en les combinant avec ceux-ci.

§ 99. — Une erreur accidentelle doit être regardée dans notre hypothèse comme une quantité abstraite ayant, indépendamment de la nature des observations, une probabilité déterminée, dont la formule se déduit de considérations basées sur l'idée de hasard. Il faut remarquer cependant que cette probabilité n'a pas une valeur invariable, quelles que soient les observations.

262 THÉOWE DES PROBABILITÉS.

En effet, le hasard, que nous supposons arbitrairement, représente dans chaque cas particulier des causes réelles différentes. Or, ces causes doivent évidemment produire avec plus ou moins de facilité des erreurs numériquement égales. Il en résulte que dans l'expression de la probabilité d'une erreur doit se trouver un coefficient qui dépende de cette facilité des causes réelles à produire des erreurs de valeur plus ou moins grande. Ce coefficient se déduira des discordances existant soit dans les observations mêmes qu'on veut compenser ensemble, soit dans des observations de même nature. On admet à cet effet que dans toute série d'épreuves, l'événement composé constitué par la production des diverses erreurs, a une probabilité qui est un maximum eu égard à la valeur du coefficient cherché. Pour obtenir une équation qui permette de calculer celui-ci, il suffit, par conséquent, de poser la condition du maximum pour le produit des probabilités des erreurs (§ 17), en y considérant le coefficient comme variable.

Le principe de ce maximum ne peut être démontré mathématiquement, mais il est rationnel de l'admettre. La recherche d'une compensation entre .les erreurs implique, en effet, une sorte de solidarité entre les observations, car si rien ne permet de supposer que l'erreur commise à une première épreuve influe sur la probabilité de celles qui seront commises aux épreuves subséquentes, il faut admettre cependant que le groupe d'épreuves étant considéré pour la compensation comme formant un ensemble, les erreurs d'observation qu il renferme forment un événement composé. Des lors,

puisque cet événement s'est produit, sa probabilité peut être considérée comme étant un maximum.

§ 100. — L'expression rigoureuse de la probabilité d'une valeur particulière pour l'erreur ne peut s'obtenir par l'expérience. Il faudrait en eifet connaître d'abord exactement la quantité cherchée, puis faire un nombre infini ou du moins très-grand d'observations. Dans ce cas, il résulte du théorème de Bernoulli étendu à un nombre quelconque d'événements possibles, que chaque erreur se présenterait un nombre de fois proportionnel à sa probabilité. Aucune des deux conditions précédentes ne pouvant être réalisée dans la pratique, on est réduit à recourir à des hypothèses sur les chances de produire les erreurs ^

Nous admettrons, en premier lieu, que ces chances diminuent quand l'erreur augmente. Rien ne prouve qu'il en soit ainsi, et en général même cela n'est vrai qu'à partir d'une certaine valeur la plus probable, qui dépend des conditions et de la nature des observations; mais, comme les opérations sont exécutées avec toute la perfection que comportent nos facultés et nos connaissances, nous sommes autorisés à supposer que c'est l'erreur nulle qui est rendue la plus probable. En second lieu, puisqu'on ne considère pas les causes réelles, le sens dans lequel l'erreur se produit est indifférent, c'est-à-dire qu'une erreur positive (en plus) a la même

* « Quippe quaestio haec per rei naturam aliquid vagi implicat, quod « limiubus circumscribi nisi per principium aliquatenùs arbitrarium ' « nequit. » Gauss, Theoria combinat, observât., etc. (§ 6).

probabilité qu'une erreur négative (en moins) de valeur absolue égale. Il en résulte que la moyenne des erreurs tend vers zéro, et que, par suite, la moyenne de toutes les valeurs obtenues tend vers la valeur exacte de la quantité cherchée.

Cette remarque importante sert de base à l'hypothèse fondamentale de la Théorie des erreurs : on suppose que, quelque soit le nombre cC épreuves faites, la moyenne arithmétique représente la valeur la plus probable, c'est-à-dire que son erreur tend vers zéro comme celle de la moyenne absolue. Ce n'est là qu'une approximation plus ou moins arbitraire, mais il a été démontré (si l'on reste toujours en dehors des causes réelles) qu'elle est d'autant plus voisine de l'exactitude que le nombre d'épreuves est plus grand. Ce nombre est donc aussi un facteur essentiel de l'exactitude de la moyenne et par suite de l'autorité, du poids qu'il convient de lui accorder.

Nous avons fait remarquer que, suivant les cas, les erreurs de même valeur absolue ont des probabilités plus ou moins grandes ; la convergence de la moyenne arithmétique dépend évidemment aussi de la rapide décroissance de ces probabilités, à partir de l'erreur nulle. Il faudra donc faire un nombre d'épreuves d'autant plus grand pour obtenir une approximation égale, que la probabilité d'une même erreur sera plus grande. Le coefficient qui détermine cette probabilité dans chaque cas particulier, est donc aussi un élément de l'exactitude de la moyenne et par suite de son autorité, ce qui d'ailleurs était évident à priori. On conçoit

DES ERREURS DOBSERVATION. 265

enfin, qu'à ce dernier point de vue il puisse s'établir une compensation entre le nombre des épreuves et la diminution ou l'accroissement de la probabilité de chaque erreur. Cette question importante sera traitée complètement plus loin.

L'hypothèse faite sur la moyenne arithmétique ne sufiît pas à trouver une expression de la probabilité d'une erreur. La condition qui y correspond peut en effet être remplie par une infinité de fonctions, et intrinsèquement il n'y a aucune raison de préférer l'une à l'autre : à 'priori toutes seraient admissibles au même titre ; cependant il est avantageux de supposer que la fonction est analytique.

Cette nouvelle hypothèse est à la vérité tout à fait arbitraire. On ne peut, comme pour les précédentes, la justifier par des analogies ou par des vraisemblances. Mais il est incontestable que la forme analytique est aussi plausible que toute autre, et comme elle est infiniment plus aisée dans les applications, on n'hésite pas à l'adopter.

Néanmoins nous répéterons encore que l'expression de la probabilité d'une erreur, telle que nous la déduirons des hypothèses que nous avons faites, ne présente qu'une solution en quelque sorte conventionnelle de la question posée au début de ce chapitre. La solution rigoureuse ne constitue pas d'ailleurs seulement un problème de m^^thématiques, et ne pourrait être généralisée. Elle est, dans chaque cas particulier, le but indéfiniment éloigné du perfectionnement des méthodes et des appareils spéciaux. L'emploi des probabilités a ici

comme ailleurs cet objet, de fournir une réponse provisoire, la plus conforme à nos connaissances acquises.

§ 101. — Puisque la probabilité d'une erreur varie avec cette erreur, la fonction analytique qui représente la probabilité d'une erreur x^ est une fonction de x. Soit F (x) cette fonction.

La probabilité que l'erreur est comprise entre x et