FORMULE DE LA PROBABILITÉ DES ERREURS

§ 102. — Soient Wi, cci, x^,.... x^ les erreurs commises dans les n épreuves faites. La probabilité du concours de ces erreurs est :

Les véritables erreurs sont inconnues, mais la forme de © est telle par hypothèse, que si l'on remplace dans ce produit x^, x^^ x^.... x^ par la différence entre la moyenne arithmétique et chacune des valeurs obtenues pour la quantité cherchée, il devient maximum.

Représentons par o', o", o'".... o^ les valeurs fournies par l'expérience, et soit

Nous posons :

On peut donc écrire au lieu de (1)

f{0 — o').f{0 — o") . ? (0 — o'") .... p (0 — oj dx^ dx, dx^ .... dx^.

de Laplace (chap. IV, n" 48), une formule générale exprimant « la pro- M habilité que la somme des erreurs d'un grand nombre d'obsenations « est comprise dans des limites données, en supposant que la loi de « possibilité des erreurs est connue, et la même pour chaque observa- « tion, et que les erreurs négatives sont aussi possibles que les erreurs « positives correspondantes. »

Laplace ne fait donc pas l'hypothèse que la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable; sa formule exprime, d'ailleurs, évidemment la probabilité que celte moyenne est en erreur d'une quantité

comprise entre ± -, n étant le nombre d'épreuves faites. Il reste à y

introduire l'expression encore inconnue de la loi de probabilité des erreurs. Laplace y arrive par une série d'approximations plus ou moins hypothétiques, qui équivalent à admettre d'emblée la probabilité maximum de la moyenne arithmétique, comme nous le faisons ci-dessus.

Si, pour exprimer la condition du maximum, on passe aux logarithmes, il vient :

?'{0-o') ■ fjO-o") f'iO-o'") ^'(0-0^)^

OU. en posant /q ^z. = -i' (O — o') :

^ (0 o') 4- ^ (0 — o") + + (0 — o'") .... -]- >^ (0 — 0^ ) = zéro. Cette relation est générale, quels que soient o', o", o'" ... o„ ; si donc on différentie par rapport à o\ o", o'" ... 0^, on aura séparément :

V{0 — On):j V{0 — On) = 0

aOn

Mais ^ = ^ = ^-^ = .... ^ = 1, puisque 0 est pris

do' do" do'" don 7i ^ ^ ^

égal à la moyenne arithmétique ; par conséquent, on a aussi

c'est-à-dire que ^' représente une constante, que nous nommerons a. Dès lors, on obtient :

+ (0 — o') ou il- (a;) = ax + p

^'OÙ ?^^ = ax + ,^

et en intégrant on trouve enfin

lOg ?{x) = ^X^ + ^X-]-y

^^ Ix^ + ^x + y

Pour déterminer a, (3 et y, remarquons que <f {x) est