VALEUR MINIMUM DE LA SOMME DES CARRÉS DES ERREURS

et la probabilité de leur coexistence est :

C'est cette expression que la moyenne arithmétique rend maximum en vertu de la forme même,

de la loi de probabilité des erreurs (§ 102). Pour le vérifier, remarquons qu'on doit avoir :

(f) ... x'^-\- x"^ -\- x""^....-{- Xp^ = minimum,

OU bien

(0 — o'f + (0 — o"f + (0 — o'";« ... (0 — opf = minimum.

En adoptant une notation très-commode, dont nous ferons dorénavant un fréquent usage, et qui consiste à poser

nous mettrons l'expression précédente sous la forme

On peut donc écrire

p ^ ^ft« j p 0* - « folO + [0*] j

ou bien

Le terme qu'il faut rendre un minimum est donc

(-ïï =

différentiant et égalant à zéro, on trouve enfin

(f) . Q..M o' + o" + o"' -{-■■• -]rOp ,

La probabilité cherchée a donc pour expression : (e')... P= ^e <^ ^ p ^ dxp .

Le principe du minimum des carrés des erreurs est souvent regardé comme admissible à priori : il sert alors de point de départ à la détermination de la fonction qui représente la probabilité d'une erreur, à l'exclusion de la plupart des hypothèses, à la vérité plus simples, que nous avons faites. On regarde dans ce cas chaque valeur de l'erreur comme le rayon d'un cercle tracé autour de la vérité comme centre : ce qui exprime qu'elle peut être due à une infinité de causes différentes. Pour la compensation des erreurs, il faut évidemment rendre minima la somme des surfaces des cercles, et, par conséquent, la somme des carrés des erreurs.

§ 108. — Puisque la valeur la plus probable de 0 est i^, de même les différences

doivent être considérées comme les erreurs d'observation les plus probables, et nous les admettons comme les erreurs réelles, aussi longtemps que nous n'avons pas de moyen nouveau d'approcher davantage de la véritable valeur. La somme des carrés de ces erreurs

doit être un minimum. Pour exprimer commodément cette somme, nous aurons recours à une nouvelle notion, celle de l'erreur moyenne. Avec les auteurs allemands, nous entendons par erreur moyenne (der mittlere