ERREUR MOYENNE

Fehler) ', « la quantité qu'on obtient en divisant la « somme des carrés des erreurs réelles par le nombre « des observations, et en extrayant ensuite la racine « carrée du quotient «.

Désignons-la par e^ ; nous aurons, pour le cas actuel :

ou bien p &^ = m — i^ = [e«] ... (k')

Cette dernière équation nous donne une seconde définition de l'erreur moyenne : on voit que c'est « une « erreur telle, que si elle existait la même dans cha- « cune des p observations indistinctement, la somme « des carrés de ces p erreurs égales équivaudrait à « la somme des carrés des p erreurs inégales e', e", « e'" etc. r>

§ 109. — D'après cela, la probabilité de la coexistence des p erreurs d'observation, quelque hypothèse qu'on veuille faire sur la valeur de ^, peut être (e') exprimée par

P = -^ e-^*p^*^ dcep ... (e'")

De cette expression, on peut maintenant déduire aisément la valeur la plus probable de h ; car, comme les p erreurs d'observation déterminent z^, le maximum de la fonction P dépend uniquement de la valeur de h; et

* On l'appelle aussi quelquefois l'erreur à craindre {der zu befûrchtende Fehler).

on sait que la valeur la plus probable de h est celle qui rend cette fonction un maximum (§ 99).

Cherchons d'abord ce maximum par le procédé du calcul différentiel : passant aux logarithmes népériens,

nous avons :

Log P = /> Log h p Log -K — /i*p Êj* ... (e'v)

La condition du maximum sera donc

d'où ft = l^... (1)

Telle est l'expression de la mesure de précision en fonction de Terreur moyenne.

Pour une autre espèce d'observations on aurait

et par suite /i* : h'^ = e'j« : e^* ... (i')

La formule (1) nous permet d'exprimer l'erreur probable en fonction de l'erreur moyenne, et réciproquement. On sait en effet (c) que

d'où r = 0,476936 X Sj [/ 2 ;

OU enfin r = 0,674489 Êj = Êj en nombres ronds ;

Sj = 4,482604 r = - r en nombres ronds.

Appliquant les logarithmes, on a

log r = 9,6784601— log /i log r = 9,8289749 + log e^ log £4= 0,4740234+ log r.