MESURE DE PRÉCISION DE LA MOYENNE

§ 1 10. — La signiâcation que nous attribuons à la moyenne nous permet de concevoir la moyenne de plusieurs moyennes, c'est-à-dire une valeur qui ne soit pas la moyenne arithmétique de toutes les observations supposées faites par groupe, mais la moyenne obtenue en tenant compte de la précision différente de chaque groupe. Chaque moyenne représentant ainsi un élément de la moyenne générale, .peut être considérée comme un résultat d'expérience dont l'erreur a une probabilité qu'on exprimera suivant la loi ordinaire de probabilité des erreurs. Quant à la mesure de précision d'une moyenne, il est évident quelle dépend de celle des observations qui ont servi à la former. Pour déterminer cette mesure, remarquons d'abord que le rapport de la probabilité d'une erreur x à celle d'une erreur zéro est, d'après la formule générale,

-=r g— " ^ dx : — 7= ax = r- " ^ .

Or, d'autre part, on sait (§ 55) que la probabilité que la moyenne est en erreur de w, est proportionnelle à la probabilité que cette hypothèse donne pour l'événement observé. Cette dernière probabilité est :

hP

^ e- h* I ix' + cc)^ + (x' + w)* +.... + Up + w)* j (icP (4)

[/tzP

puisque les erreurs d'observation sont alors a;' -}- w,

x" -j- to, x'" -\- (ù, ... Xp-{- (ù.

De même la probabilité que la moyenne a une erreur nulle (c'est-à-dire comprise entre o et dx) est proportionnelle à hP ■■> I '2 m ,"i SX

Remarquons que l'exposant dans (1) se réduit à

en vertu de la relation œ '-\- x" -\- x'" -[- • • • + ^p = o,

qui résulte immédiatement de 0 = — .

Le rapport de (1) à (2) est donc e— /l'pw*^ d'où,

d'après la remarque faite § 105, on voit que la mesure

de précision de la moyenne est h \/^\ la probabilité

que cette moyenne soit en erreur de x est donc :

ou, en faisant /i [/p = H,

Si, au lieu de faire p observations, on en faisait p', la mesure de précision de la moyenne arithmétique serait h [/f : les précisions des deux moyennes seraient donc entre elles comme [/p: \/f. On conclut de là que « la précision d'une moyenne arithmétique croît « comme la racine carrée du nombre d'observations « qui ont concouru à la former ». Nous avons déjà fait remarquer § 100 que la convergence de la moyenne arithmétique des erreurs vers leur moyenne absolue, qui est évidemment zéro, croît avec le nombre d'observations. On voit ici le rapport d'accroissement.

On nomme poids d'une valeur [Pondus; das Gewicht) le nombre d'observations également précises, requis pour que leur moyenne arithmétique ait la même précision que la valeur donnée, la précision de chaque

POIDS d'une moyenne. 287

observation simple étant prise pour unité de précision. Dans le cas actuel, le poids de 0 est ^, quand on prend pour unité de poids celui de chaque observation simple.

Si, dans l'équation H = h\/p ... (g)

on prend /* == 1 , il vient

« Le poids de la moyenne est donc égal au carré de « sa mesure de précision. »

Si la moyenne provenait d'un autre nombre, p, d'observations, on aurait

« Les poids des valeurs les plus probables sont donc « entre eux comme les carrés de leurs mesures de « précision, v

De ce que les poids sont comme les carrés des mesures de précision, il résulte que si deux quantités a?, y, étaient de précisions différentes, H, H', « on les « ramènerait à la même unité de précision, en les « multipliant par les racines carrées de leurs poids. »

En effet, œ étant rapporté à l'unité H, deviendra Hx si on le rapporte à l'unité 1 ; de même alors y deviendra HV; et ces expressions, en vertu du rapport (g"), peuvent être changées en x \/p ety[/p'.

Soit R l'erreur probable de la moyenne arithmétique 0 = —

P on aura (c) p p r

Donc « si r est l'erreur probable de chactine des p ob-

servations, -7= sera l'erreur probable de leur moyenne arithmétique ». De même son erreur moyenne égale

Pour y observations, on aurait

H' donc H : H' = R' : R ;

OU bien p:p' = R'« : R« ... (h')

c'est-à-dire que « les poids sont réciproquement pro- « portionnels aux carrés des erreurs probables ».

D'autre part, on tire de la relation (l') combinée avec {g")

Ainsi « les poids sont réciproquement proportionnels « aux carrés des erreurs moyennes ».

Si l'on suppose

il vient p = -^,- 0'")

C'est par cette relation que Gauss définit le poids qu'il appelle « une quantité réciproque au carré de l'erreur « moyenne ».

Remarque. Soit Tjg l'erreur moyenne de Vunité de poids : on tirera de (1")

TijS^pej^ .... (l'v).

Telle est l'expression de l'erreur moyenne de l'unité de poids, p étant le poids de la moyenne.