CAS D UN NOMBRE INFINI D OBSERVATIONS
§ 111. — Si, dans l'expression (1) de /i, on remplace 62 par sa valeur, on obtient
ainsi « le carré de - est égal au double de l'excès de
« la valeur moyenne du carré de la variable, sur le « carré de sa valeur moyenne » .
Lorsque le nombre des observations est infini, ou que la variable est assujettie à la loi de continuité, le carré de la valeur moyenne devient
liydx.xj,
et la valeur moyenne du carré
I ydx . a*.
J a On a donc
2 i ydx .a;* — I | ydx • x] \
la fonction y étant assujettie à la condition connue
ydx = J a
En continuant à raisonner dans l'hypothèse d'un nombre infini d'observations , le carré de l'erreur moyenne est, d'après sa définition,
/--H 00 i /-4-ao ^
I ydx . x^ t y~ \ e- ^ dx . x"^
Sjî = — = .
/•+QO 4
ydx
J — oc
Pour intégrer le numérateur, observons que
d {e- as' , x) = e- «* djj — 2 e- <^^ . x'^ dx;
a ou e-^ .x^dx = e-^ .x-\--\ e-^ dx.
J — 00 2 2^ — gç,
Le premier terme du second membre disparaît pour âj = =t 00 ; donc
g-«^ dx
— = «- ^ dx = I S/tz J~
mais \ TT=^~'' dx= l ydx = i;
donc . ï *
ce qui nous ramène à la proportion du § 109 :
r = 0,67449 sj.
L'erreur moyenne correspond à un point très- remarquable de la courbe de probabilité : c'est celui pour lequel la courbe marche le plus rapidement vers l'axe des abscisses, et en même temps, c'est le point d'inflexion de la branche.
En effet, la tangente de l'angle d'inclinaison de la courbe a pour valeur
dy 2 i
dx y ^
LIMITES DE l'erreur PROBABLE. 291
différentiant de nouveau, et égalant à zéro :
dx dx^ J/,^ j/tt
Telle est l'abscisse à laquelle correspond le maximum de l'angle d'inclinaison de la courbe sur l'axe des x.
D'ailleurs, l'expression précédente, mise sous la forme
montre que le coefficient différentiel du second ordre
change de signe, dans le passage de x^ < - à a^ > -. Il
y a donc inflexion au point dont l'abscisse est 7-7=-
§ 112. — Au lieu de trouver la valeur de h par une simple dilférentiation, nous emploierons maintenant un procédé qui a l'avantage de faire connaître les limites probables de h, et par suite celles de l'erreur probable.
Pour cela, regardant P comme une fonction de la variable h, appelons P' la valeur de P correspondante à une valeur un peu diff'érente de /i, owkh + A : nous aurons (§109)
Log P' = p Log (/i + A) — -jo Log Ti — (/i -f A)'/) ej*.
Remplaçons p Log (h -\- a) par l'expression ;)Log/i4-;)Logfl-l--j,
et développons la partie entre parenthèses : il vient
Log P' = p Log /i — -p Log Tz — h^p £j2 — 2p /t A h^ —p^^ ej^ , A 4 A* , i A' 1 A*
Les trois premiers termes du second membre forment précisément la valeur (e'^) de Log P : donc
Log(^') = (-^-2p/..^)A-(^+ps.^)A^
La valeur la plus probable de h doit rendre P un maximum absolu, donc Log [— j toujours négatif, quel que soit A. Le coefficient de A doit donc être égal à zéro, ce qui nous conduit de nouveau à la valeur (1). .
Eu égard à cette condition, il vient
