P'\ ;> AM , 1 A , 1 A
Comme - est une très-petite fraction, on peut, dans la
série, négliger tous les termes, sauf le premier, ce qui revient à faire abstraction des termes du troisième ordre : il reste alors
ou p p^
LIMITES DE l'erreur PROBABLE. 293
La probabilité d'une erreur nulle sur la détermination de h est donc à celle d'une erreur A, comme
et l'on doit par conséquent prendre (§ 110) pour mesure de précision de cette détermination la quantité
L'erreur probable de cette détermination est (c), (1)
Il y aurait donc un à parier contre un que la véritable valeur de h est comprise entre
et
OU qu'elle est égale à
La précision de l'erreur probable r dépendant de celle de /i, il y a un à parier contre un que r est compris entre les limites
-^-^- £, et -^^ £j ... (m"')
Vp i/p
Ces limites peuvent être remplacées, dans la pratique, par les limites un peu plus larges^
r = t,p ]/Y[ \ zp -^^^^ ) .. . (miv)
\ Vf I qui, traduites numériquement, deviennent
r = 0,674489 Ji=FM1693(L)... (,.^
§ 113. — Pour terminer ce qui a rapport à ce sujet, observons que la valeur (k') de %, savoir
que nous avons donnée dans le § 108, n'est pas rigoureusement terreur moyenne^ telle que nous l'avons définie dans ce même paragraphe : c'est plutôt, suivant l'expression de Gerling, t écart ynoyen par rapport à la moyenne {die mittlere Ahiœichung vom Mittel). En
effet— n'est pas la valeur réelle de l'inconnue 0, mais p
sa valeur la pltis probable ; les erreurs s', e", e'" ... ne sont donc pas les erreurs réelles, et par suite, les valeurs trouvées pour Sg, r, et h, doivent être revisées.
L'erreur moyenne de la moyenne est ± -y^ (§ 100) ;
on peut donc considérer que la valeur la plus ration-
* En regardant l'incertitude -^ de l'erreur probable comme une [/p petite quantité du premier ordre dont on peut négliger les puissances
supérieures.
VALEUR PLUS EXACTE DE l'eRREUR MOYENNE. 295
nelle de la quantité cherchée est égale à la moyenne 0
Dès lors, on aura :
ou
p £i* = (0 — o'f + (0 - o"f + .-.. H- (0 - Opf ±-^ (0 — o' + 0 — o" + ... + 0 — op) + e«
Vp d'où enfin *
. , (0 - o'Y 4- (0 - o"? + .... (0 - Op)» [£*]
Telle est la relation dont on se sert dans la pratique pour calculer l'erreur moyenne d'une espèce d'observations.
L'erreur moyenne de la moyenne arithmétique entre les p observations est (§ 100)
iW")
par suite ^^ i ^ [f-] ... (tiv/
§ 114. — Nous avons indiqué sommairement (§ 110) comment, parla considération des poids, on ramènerait à la même unité de précision des observations inégalement précises. Nous allons développer maintenant cette importante considération du poids.
Si l'on n'a égard qu'à sa précision calculée, une observation quelconque peut être regardée comme la
moyenne d'un certain nombre d'observations fictives de précision moindre.
Tmaginons une unité de précision ; si h est exprimé en cette unité , [/h représente , d'après ce que nous avons vu, le poids de la moyenne à laquelle l'observation dont h est la précision peut être assimilée, c'està-dire le nombre d'observations de précision égale à l'unité qu'il faudrait pour obtenir une moj'^enne de précision h.
Il résulte de là que si les observations o\ o" , o'" — qu'on a faites (§ 107) pour détCTminer la quantité 0 ont des poids différents p', p", p'" .... nous les réduirons à la même unité de précision en rhultipliant chacune des erreurs dont elles sont affectées par la racine carrée du poids correspondant. La quantité à rendre un minimum sera donc alors
p' (0 — o'f +p" (0 - o"f +/" (0 — o'")* +. . .-{-pn (0 — On Y= [pa;2]. On en tire
1^^ = 2/7' (0— o') + 1p" {O-o") + 2//" iO-o'") + . . . Ipn (0 -On):
égalant ce coefficient différentiel à zéro, on obtient
(r\ 0 = V'0'-\-V"0"-^V"' 0"' + ...+Pn0n [H
^ ^"' P'+P"-\-p'"--\-Pn M"
La valeur la plus probable est donc encore la moyenne des observations, en donnant à ce mot la signification indiquée au § 73. Si nous faisions tous les poids égaux, nous retomberions sur l'équation (f).
L'unité de poids est évidemment arbitraire; car en adoptant une autre unité, nous ne ferions qu'introduire
CAS d'observations de poids différents. 297
dans p', p" Pn un facteur commun qui disparaîtrait
comme se trouvant à la fois au numérateur et au dénominateur.
Cette même valeur de 0 est précisément celle qu'on trouve en statique , lorsqu'on calcule la position du centre de gravité d'une droite, chargée en des points o', o", o'" .... de poids p' , p" , p'" .... Si les poids devenaient égaux, la position du centre de gravité serait donnée par la formule (f).
Remarquons enfin que la formule (F') justifie un procédé pratique, généralement employé lorsqu'on veut obtenir un angle au moyen de plusieurs séries de répétitions. Dans ce cas, on multiplie le résultat fourni par chaque série, par le nombre de répétitions qui lui correspond, et on divise la somme des produits par la somme des nombres de répétitions : c'est qu'ici l'unité de poids est l'observation simple.
§ 115. — Au lieu de désigner par 1 l'erreur moyenne de l'unité de poids, désignons-la par ti^ : nous aurons (§ 110, remarque)
et en général ^ ^ j^t^ /j^v)
C'est l'erreur moyenne d'une observation quelconque, en fonction de son poids, et de l'erreur moyenne de Tunité de poids.
Comme d'ailleurs le nombre d'observations de la moyenne est représenté par - -- - p' -\- 2^" -\- P'" + »
l'erreur moyenne de cette moyenne, et celle de l'unité de poids, seront en raison inverse des racines carrées des nombres d'observations correspondantes (k'") ;
donc :
El 4
TQî
yp'-hp"+P'"+-
OU bien g^ ^ ^^ ^ ^^ /j^va
équation qu'on peut mettre aussi sous la forme suivante ^
ou enfin
Nous pouvons assigner un poids, P, à la moyenne arithmétique, aussi bien qu'à nos observations individuelles, en fonction de la même unité de poids : nous aurons toujours la relation
d'où, (kV) p =:p'|-p"j p'" !-... ==[p];
théorème analogue au principe de statique en vertu duquel la résultante des forces parallèles de la pesanteur passe par le centre de gravité et est égale à leur somme .
§ 116. — Pour apprécier l'erreur moyenne de l'unité de poids, nous raisonnerons identiquement comme nous l'avons fait (§ 113) pour déterminer l'erreur moyenne
