XJ^I

£2=1/ -^— = 0,03101 ; La mesure de précision du résultat

Si l'on substitue cette dernière valeur pour H dans l'équation

et qu'on y fasse oc == 0,015, on en tirera t ^\ ,492 ; et la valeur correspondante de P sera (voyez la table n° 2) P = 0,965. Ainsi, en admettant que les nombres du tableau précédent soient affranchis de l'influence de toute cause constante d'erreur, il y aurait environ 30 à parier contre 1, que l'erreur qui affecte la moyenne 12,515 tombe au-dessous de 0,015 en plus ou en moins. Réciproquement, si l'on admet, par des vues à priori, et pour satisfaire à la loi de Prout, la valeur 12,500, il y a 30 à parier contre 1 que les nombres de Dumas, quelques soins que cet habile chimiste ait apportés dans ses recherches , sont affectés d'une cause constante d'erreur, tendant à donner des valeurs trop fortes ^

Cinquième exemple. — Dans les observations de Bradley, citées à la tin du § 106, on voit que 94 valeurs sont tombées entre 0"et±0",l, et 36 entre ± 0",5 et ± 0",6. La probabilité d'une erreur nulle est

* On connaît les beaux travaux de M. Stas sur cette question de la loi de Prout.

donc à celle d'une erreur 0",55, comme 94 : 36; et l'on a, d'après le théorème du § 110,

en prenant la seconde pour unité des erreurs. — On déduit de cette équation

/t= 1,781 d'où ej=o",397

Ge dernier résultat diffère très-peu de celui qu'a adopté Bessel. Si on le compare à l'erreur probable d'une observation de Cavendish (3^ exemple), on verra qu'il en est numériquement presque le double. En d'autres termes, les deux observateurs avaient une égale facilité à se tromper, l'un de 2 dixièmes de seconde sur une différence d'ascension droite, l'autre de 1 dixième sur la densité de la terre. Ceci explique la remarque que nous avons faite à la fin du § 105.

Sixième exemple. — Deux observations o',o" du même angle ont été faites avec le même instrument et dans les mêmes circonstances ; mais la première repose sur 10 répétitions et la seconde sur 15. Pour les réduire à la même unité de précision, il faut connaître leurs poids : or, le plus simple est ici de prendre une observation individuelle pour unité de poids, et de faire par conséquent p' = 10, p" = 15. Mais on pourrait choisir toute autre unité de poids, en s'astreignant seulement à la condition p' : p" == \0 : 15 = 2:3. Le rapport des précisions sera toujours exprimé par J/â : [/^ et

celui des erreurs moyennes par j/s : [/'l ■ Si nous posions y ^ 2,y = 3, l'unité de poids serait la moyenne entre 5 répétitions.

Si les deux angles avaient été observés une seule fois chacun , mais avec des théodolites différents , il faudrait commencer par chercher, comme dans le premier exemple, l'erreur moyenne correspondant à chacun des deux instruments. Supposons qu'on ait trouvé e' = 10"; s" = 5" ; alors les poids devront être déterminés de telle manière qu'on ait jo';p" = 25: 100=1 :4. — Ici, nous prendrons naturellement l'observation o' pour unité de poids, et nous attribuerons à o" un poids quadruple ou une précision double. Mais si nous avions quelque motif de préférer, pour unité de poids, les observations faites avec un troisième théodolite dont nous nous servirions habituellement, et dont l'erreur moyenne serait, par exemple, de 7", alors les produits p't'^,p"£"^ devraient être égaux à tj,^ (§ 116), d'où p' X 100 = p" X 25 = 49; ou enfin

Septième exemple. — Reprenons les angles rapportés dans le premier exemple, mais en ayant égard cette fois au nombre de répétitions de chacun d'eux : pour cela, nous adopterons d'abord une unité de poids qui sera ici l'observation simple ; p ne sera donc autre chose que le nombre de répétitions inscrit dans le registre d'observations, et le tableau suivant se comprendra de lui-même.

po

px

px^

Après avoir formé [p o] on calcule, d'après la formule (F').

L'erreur moyenne d'une observation simple, ou de l'unité de poids, se calculera avec le secours de la formule (k'^'j : on trouve ainsi

APPLICATIONS AUX SCIENCES d'oBSERVATION . 309

celle de la moyenne arithmétique, par la formule (k^') : Ej = ±l", 397;

celle de chaque observation, eu égard à son poids, par la formule (k"") : on a donc,

pour les observations (10) et (i 3) £^=±6", 70

— (4),(5),(6),(7),(8),(ll),(12),(44)e,=±5 ,47

— (2) et (9) eî==b4 ,74

— (l)et(3) £2 =±4 ,24

Les observations que nous venons de citer ont été faites par des élèves, avec un théodolite qui, entre les mains d'un observateur exercé, a donné t,2 = 6",5 : elles sont donc de moitié moins exactes qu'elles pour-

-^ — j := 2 à peu près ; et si l'on

voulait joindre le résultat précédent à celui qu'aurait déjà obtenu un bon observateur, il faudrait, au lieu de [p] = 46, prendre [^3] = 23. '

Première remarque. — En général, avant de combiner des moyennes dont chacune a son poids particulier, il faut d'abord chercher si elles sont rapportées à la même unité de poids : si cela n'est pas, il faut faire ce que nous appellerons la réduction des poids.

Supposons, par exemple, qu'un aide ait mesuré un angle par 58 répétitions; et qu'avec son résultat, Oj = 51",34, [pi] = 58, il nous ait communiqué son registre d'observations. Ce dernier document nous permettra de calculer son ej, s'il ne l'a déjà fait lui-même : soit $2 = 9", Supposons, en outre, que nous aj^ons

mesuré le même angle avec un autre instrument, ou dans d'autres circonstances, et trouvé

Nous n'adopterons pas simplement, pour valeur de

l'angle,

ni même, en n'ayant égard qu'aux nombres de répétitions,

M Oi + M Oj bil + M '

car cette formule suppose la même unité de poids. Mais avec le secours des deux e différents, nous réduii'^ons les poids, c'est-à-dire que nous changerons les \p], de manière qu'ils se rapportent à la même unité de poids, au lieu de se rapporter à l'observation simple de chacune des deux séries. Nous pouvons effectuer cette réduction, soit en conservant l'une des unités de poids proposées et changeant l'autre; soit, si nous avons quelque motif de le faire, en adoptant une nouvelle unité de poids.

Si nous voulons, par exemple, conserver [p^] = 25, et désigner par R les poids réduits, nous aurons (k'")

Les 58 répétitions de l'aide valent donc autant que 11,4568 des nôtres, et le résultat définitif est par conséquent

Ri + M