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de même, l'erreur à craindre sur le côté, lorsqu'on le calcule en partant de la base N ou de la base 0, sera Mi i )
Pour trouver l'erreur à craindre sur la moyenne, représentons par T,2 l'erreur moyenne de l'unité de poids : nous aurons (§ 116)
d'où, en supposant p triangulations,
l/p'a«+p"fc*-f-p'"c-*...
Représentant par Eg l'erreur moyenne de la moyenne arithmétique entre les différentes déterminations, on aura (§ 115, k^^
Dans le cas de deux triangulations, il vient simplement
On mettra cette dernière expression sous une forme plus commode, en remplaçant a et b par leurs valeurs,
savoir: p"(k-U) p" dl
P' ih — li) P' dl
Substituant, on a
dl
p'Tp"
^^--r^r\Xlp'p".
D'après Bessel (Gradmessung in Ostpreussen, p. 168), le côté Trunz-
Wildenhof est /, == 30123t,7481;
et d'après Baeyer (die Kûstenvermessung ,
p. 371), ce même côté /^ = 30123 ,5041:
d'où h—h= —0^,2440.
Or, depuis le côté Trunz-Wildenhof, il y a sept
triangles jusqu'à la base de Kônigsberg, et trente- cinq
jusqu'à la base de Berlin. On trouve donc :
Pour l'erreur provenant de la base de Kônigsberg. . — 0'',0407
— — de Berlin . . \ . + 0,2033
valeur la plus probable du côté 30123^,7074
Erreur à craindre sur celte valeur =t 0,0643.
On peut, de cette manière, calculer les valeurs les plus probables de tous les côtés de la triangulation, eu égard aux deux bases mesurées. Il convient de remarquer toutefois que l'hypothèse de Baeyer, de l'exactitude inversement proportionnelle au nombre de triangles intermédiaii^es, est rarement admissible dans la pratique. On ne peut d'ailleurs établir une règle générale pour l'appréciation de la précision relative des diverses déterminations d'un même côté.
Neuvième exemple. — Un projectile est lancé au hasard contre une droite de 1"* de longueur ; on mesure à chaque fois la distance du point frappé à l'une des extrémités de la droite : cette distance est une grandeur qui peut prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre 0 et 1"*; la probabilité reste constante d'une valeur à l'autre, et la courbe de probabilité devient
une ligne droite parallèle à l'axe des abscisses
Sa surface est r^
I cdx = 6- = 1 .
La valeur probable de la grandeur x se déduit de
l'équation if l
-=J càx; d'oùr=-.
La valeur moyenne est
M = I càx . a; = — .
Enfin la mesure de précision se déduit de
-— = I xHx — (1 xix\ = = — ;
2/i* )o \Jo / 3 4 i2'
En conséquence, pour une série de 1,000 épreuves, l'erreur probable devient (§ 110, formule (h) ) 0»", 006 159, ou un peu plus de six millimètres. Il y a 20,000 à parier contre un que l'écart ne s'élèvera pas au sextuple, ou à 36 millimètres. On réduirait ces limites d'écart à moitié en embrassant une série de 4,000 épreuves.
Dixième exemple. — Des points sont disséminés au hasard sur la surface d'un cercle d'un mètre de rayon : la distance d'un point au centre du cercle est une grandeur qui peut encore prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre 0 et P ; mais ces valeurs sont inégalement probables.
Soit y la probabilité qu'un des points se trouve dans un cercle de rayon x^ concentrique au premier : on aura r^
I ydx : i = Tzx'^ : ttR* ;
OU, en faisant R = 1"*, r^
I ydx = X*.
Différentiant : y = ^x, équation de la
courbe de probabilité.
Cette courbe se change donc encore ici en une ligne
droite; mais elle passe par l'origine, et fait avec l'axe
des X un angle de 63'^ 26'. La surface correspondante
à la certitude est
2a; dx = x* = 1 .
La valeur probable se tire de
<tcdx= -
d'où r = -i^ = 0m,7071.
La valeur moyenne s'obtient en posant
'i.xdx . X
Ixdx
d'où M = | = 0'",6666.
Pour la mesure de précision on a
d'où /i = 3.
En conséquence, les limites d'écart qui se rapportaient à l'exemple précédent seront réduites à peu près dans le rapport de 300 à 245.
Onzième exemple. — Des points sont disséminés au hasard dans l'espace enfermé par une surface sphérique d'un mètre de rayon. La distance d'un point au centre de la surface d'enveloppe est toujours une grandeur qui
peut prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre zéro et 1"*. Pour la probabilité d'une valeur égale au plus k X on aura
J ydx
- Tt X
d'où y = 3a;*.
La courbe de probabilité est donc une parabole, dont
le foyer est à - de mètre du sommet. La valeur pro-
bable s'obtient en posant
3 x*dx = r* ; d'où .. <
La valeur moyenne est
ZxHx = -^ 0"*,75.
Enfin, pour le module de convergence, il vient
^~={ ZxHx — {\ 2,xMx\ ^- — —=--; m Jo \Jo / 5 16 80'
d'où h^ = ^^; /t = -t/3Ô = 3,5683.
Les limites d'écart relatives au 9® exemple se trouvent donc réduites environ dans le rapport de 357 à 245 ; un peu moins que dans le rapport de 3 à 2.
Douzième exemple. — Concevons qu'on ait un globe sur lequel on ait tracé un équateur, des méridiens et des parallèles; qu'on lance ce globe au hasard, et
qu'après chaque jet on marque son point de contact avec le sol. Chacun de ces points aura une longitude et une latitude déterminées : la première pourra varier de 0° à 360", et la seconde de 0° à 90°. Si, comme nous le supposons, le globe est bien sphérique et homogène, chaque valeur de la longitude sera également probable, et l'on aura pour la moyenne 180°. La valeur du module de convergence, h, sera la même que dans le 9® exemple, pourvu qu'on prenne la circonférence pour unité. Si donc on embrasse une série de 1,000 épreuves, l'écart probable deviendra
Les choses se passent autrement en ce qui concerne les latitudes. Chaque valeur, x, de la latitude est d'autant moins probable qu'elle approche davantage de 90° ; et la probabilité d'une latitude comprise entre 0° et œ° est proportionnelle à l'aire de la zone sphérique correspondante. On a donc
j/dx : 1 = 2 7T R sin a; : 2 ir R« ;
d OÙ y =rr CÔS X.
Telle est, dans le cas actuel, l'équation de la courbe de probabilité.
La valeur probable de la latitude s'obtient en posant
COS a; dx = — ;
^'OÙ smr=-; r = 30o.
La valeur moyenne est
cos xdx . X
dx
Or
J' cos X I
I cos xdx . a; = a; sin rc + cos X ;
donc M "* i
M = — Tt 1.
La valeur moyenne de la latitude est donc le complément de l'arc égal au rayon, ou 32" 42' 15", 2. Quant à la mesure de précision, on a
— =1 x'^ cos xdx — I ^ X cos xdx ] . m Jo \Jo I
Or C
' \ x'^ cosxdx = x^ sin x -f- 2x cos x — 2 sin x ;
d'où Àt: Tt» .
I' a;*cosa;dx= 2.
Il vient donc
-L = TC 3; /iî= 1 ; /i = 1,8792.
Cette mesure de précision se rapporte au rayon pris pour unité. Si l'on veut construire la courbe de possibilité à une autre échelle, en prenant pour unité le quart de la circonférence (ou l'étendue des limites entre lesquelles la latitude peut osciller), il suffira de multiplier
h par
et il viendra alors
D'après cela, si l'on embrasse une série de 1,000 épreuves, il viendra pour l'écart probable
Les limites d'écart, comparées à celles que l'on obtenait pour les moyennes des longitudes, se trouvent réduites, non-seulement parce que chaque valeur particulière ne varie que dans un intervalle quatre fois moindre, mais encore par suite de l'accroissement du module de convergence.
Il résulte de là que, si l'on projette au hasard un plan sur un sol horizontal, la moyenne des inclinaisons n'est pas 45°, comme on serait porté à le croire, mais bien 57° 17' 44", 8. En effet, on peut imaginer qu'à ce plan soit fixé perpendiculairement un axe^ prolongé jusqu'à la voûte céleste. La moyenne des hauteurs des pôles, au-dessus de l'horizon, sera, comme nous venons de le voir, 32° 42' 15", 2; donc la moyenne des inclinaisons du plan avec l'horizon sera le complément de cet arc.
Si Ton calcule, pour les comètes connues jusqu'aujourd'hui, la moyenne de l'inclinaison de leurs orbites sur l'écliptique, on trouve une valeur d'environ 48''. On doit donc conclure de ce fait que les comètes ont une tendance à se rapprocher du plan de l'écliptique, conclusion contraire à celle qu'a tirée Laplace (Théorie analytique des probabilités , p. 259).
§ 118. — L'essai des armes à feu présente des applications intéressantes du calcul des probabilités
322 THÉORIK DES PROBABILITÉS.
aux observations. Supposons que la cible contre laquelle on tire soit assez grande pour être atteinte par tous les coups : on trace par le centre C de la cible deux axes rectangulaires ; on mesure les valeurs de x et de y correspondant à un grand nombre de coups, et Ton prend les moyennes
de ces valeurs, en ayant égard à leurs signes.
Lorsqu'il n'existe aucune cause constante de déviation latérale ou verticale, on trouvera pour X et Y des valeurs nulles ou du moins négligeables; sinon on devra conclure qu'il existe, soit dans la construction de l'arme, soit dans la manière de viser du pointeur, une cause constante de déviation.
En variant les circonstances du tir, si l'on retrouve toujours pour X et Y des valeurs notables, il y aura lieu de croire que la cause constante provient de l'arme qui ne sera pas juste. Il faudra alors la rejeter, ou la rectifier, s'il est possible, en modifiant la ligne de mire.
Le point de la cible ayant pour coordonnées X et Y est le point à'impacte moyen, L La déviation de l'arme est l'angle formé par les deux droites qui, partant de l'œil du pointeur, aboutissent aux points C et L
La propriété qui caractérise le mieux le point d'impacte moyen, c'est que « la somme des carrés de ses « distances à tous les points de la cible qui ont été « touchés, est un minimum : » en d'autres termes, si l'on compte les écarts à partir de tout autre point, la somme de leurs carrés sera plus grande.
