L'ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE

22. A un certain moment d'un jeu, un joueur a la probabilité p pour qu'il gagne; l'enjeu à empocher est a.

Par définition, l'espérance mathématique est /?a. Bien entendu, si a est une perte, peu est négatif.

Si plusieurs hypothèses, de probabilités respectives pM fit '^'y Pn> amènent des gains respectivement égaux à >ai,a2, ...,an> la définition de l'espérance mathématique sera

p^a.x-{-piCir-\-.^.-^Pn(^n' '

Un jeu est équitable lorsque l'espérance mathématique est la même pour tous les joueurs.

Pour faciliter certaines questions, on convient parfois d'introduire des joueurs fictifs dont On évalue l'espérance mathématique.

Soient deux événements, A et B.

La probabilité de l'arrivée de A est. pi

— — B est. pi

— — A ou de B est. . . . . . . /?$

— — A et de B est /?4

On a

Si les deux événements étaient incompatibles, on aurait

dans celte formule jo^ ^ o, c'est-à-dire le théorème de la probabilité totale; mais je suppose qu'il n'en soit pas ainsi.

Le gain à réaliser est de i^'" si A se produit; de i^'' également si B se produit.

L'espérance mathématique totale, en tenant compte des deux événements, sera />i -+-/?2.

Ainsi, que les événements soient compatibles ou non, l'espérance mathématique totale est la somme des espérances mathématiques partielles.

Si les deux événements se produisaient, le joueur toucherait 2^'.

Cas plus compliqué : Un certain nombre d'événements Al, As, ..., Xq sont possibles : la probabilité pour que A/ se produise est/>j, la probabilité pour que A,- et A^ se produisent à la fois esl piky la probabilité pour que A,, Ay et kj, se produisent à la fois est pfjk'

On promet à un joueur de lui payer i^"" pour chaque événement qui se produit; s'il y en a n, il touchera n francs. Son espérance mathématique totale est la somme de celles que lui assure chacun des événements, c'est-à-dire Ipi.

On lui promet autant de francs qu'il y aura de combinaisons de deux événements pris dans la série. Si deux événements se produisent, il touche i*"*"; si trois événements A, B, C se produisent, il touche 3*"% car il y a trois combinaisons AB, BC, CA; si n événements se produisent, il

, n ( n — i) „ touche. irancs.

Quand deux événements A, et A/, se produisent, cette combinaison lui. assurant )<^% l'espérance mathématique est piky et l'espérance mathématique totale est alors

Zpik'

l'espérance mathématique. 59

Si n événements se produisent, et qu'on donne au joueur

i'^'" par groupe de 3, il touchera alors — ^ — ^

et son espérance mathématique sera

— 7:rî. — ^P'J"-

Jouons maintenant avec les conventions suivantes : je paie i^*" par événement qui se produit; le joueur me paie i^"" par combinaison de deux événements; je lui paie [^""par combinaison de trois événements; il me paie jf"" par combinaison de quatre événements, etc.

Événements i, 2, 3, 4> •••

Gain du joueur.. . i, — i, i, — i, . . .

Son gain est

quand il y a /i événements réalisés.

Si /l rr G, a = o.

On a, en général,

Donc, pour /i >o, (7= I.

Ainsi, quand aucun événement ne se produit, le joueur ne louche rien; quand il s'en produit n, il touche toujours

Son espérance mathématique est

P — Ip^ — Ipik -h Ipijk — . .

6o CHAPITRE III.

D'où, une généralisation du théorème des probabililé& totales : la probabilité pour que l'un, au moins, des événements se produise est

Ipi — Ipik + ^Pijk —

23. Problème de la rencontre. — Dans une urne, il y a /jl boules numérotées de i à jjl; je les tire les unes après les autres, jusqu'à ce que l'urne soit vide. Il y a rencontre si, au i^ tirage, je tire la boule numérotée i.

Cherchons la probabilité pour qu'il y ail au moins une rencontre.

D'abord la probabilité pour qu'il y ait rencontre au rang

i est -. En effet, il y a en tout autant d'hypothèses possibles

que de permutation de {j. lettres, soit ju.! Combien sont favorables? Celles où la i^ boule est au rang «; je puis y permuter les IX — I autres, donc (/ji-— i)! cas favorables. La probabilité est -

Cherchons la probabilité pour qu'il y ait rencontre au t* et au k^ tirage. Deux boules ont un rang déterminé : si nous permutons les jj. — 2 autres, nous verrons que le nombre des cas favorables est (/x— 2)!; la probabilité est

Pik

De même

Pijk

Toutes les jt?j sont égales; comme il peut'y avoir }x ren-