L ESPERANCE MATHEMATIQUE
contres
Pour calculer 2/?//,, remarquonè que le nombre possible
p. iix— i)
des doubles rencontres est De même
fx(/J. — l)(/J.— 2)
/?^7A — ^Pijk —
Si je promets à un joueur autant de francs que de rencontres simples, son espérance mathématique sera i; elle
sera-, s'il reçoit i'"^ par combinaison de 2 rencontres; ^, s'il reçoit i*^' par combinaison de 3 rencontres, etc.
Quelle est la probabilité pour qu'il y ait une rencontre au moins? C'est ce que nous avons appelé tout à l'heure P.
le dernier terme correspond au cas de /jl rencontres simultanées. Les termes de P sont les ij. premiers termes du développement de i — e-^, et cette série converge avec une rapidité extrême. L'erreur est d'autant plus petite que \j. est
plus grand, et, pour /jl=2o, elle est inférieure à — j^?
c'est-à-dire insignifiante.
La probabilité cherchée est i — e-'^.
24. Valeurs probables. — Soit px la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a^.
62 CHAPITRK III.
Soit /?2 la probabilité piour qu'une certaine quantité a soit égale à «2-
Soit pa la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a„.
La valeur probable de a est, par définition,
c'est l'espérance mathématique d'un joueur à qui l'on promettrait une somme égale à a.
La valeur probable de a} n'est nullement égale au carré de la valeur probable de a. Par définition, la valeur probable de a^ est 2iafpi, tandis que le carré de la valeur probable de a est {laiPiY.
Soient b la valeur probable de «', c celle de a.
On a
b — c\=:l Pilaf Pi— {IniPiY,
car Ipizzz I.
Nous transformerons le second membre à l'aide de l'identité
IX^IX"— {lW'y=zl{XY' -YX')\
où les Y'Sont des X changés d'indice.
Nous poserons
X'=ai\/pi,
d'oij et
XX' = a^pi
2XX'=: lai Pi,
l'espérance m\thématique. 63
Par conséquent,
b — c^ — ^{slpia^sfpl— s/ pkaisfpiY , b—c- — lpiPk{ak—ai)\
pi et pk sont essentiellement positifs ; donc b — c* est supérieur à zéro et la valeur probable du carré de a est toujours plus grande que le carré de la valeur probable de a, sauf quand a^ == «i, c'est-à-dire quand a ne peut prendre qu'une seule valeur.
H est clair que la valeur probable de la somme de deux fonctions est la somme des valeurs probables de ces deux fonctions. En revanche,' la valeur probable du produit de deux fonctions n'est pas égale en général au produit de leurs valeurs probables. Ce que nous venons de dire au sujet de la valeur probable du carré le prouve suffisamment.
Soient cependant /et © deux fonctions indépendantes l'une de l'autre.
Soient p^ la probabilité que/=:/,, et ^à celle que cp rrr cp^.
Les deux fonctions étant indépendantes, la probabilité pour que /—// en même temps que cp == cp/t sera /?, g/c, en vertu du théorème des probabilités composées. La valeur probable du produit/© sera alors
lpiqk/i9k=^ i^Pifi) {^gk^k)y
c'est-à-dire au pwoduit de la valeur probable de/ par celle de cp.
25. Ori promet à un joueur (toujours en tirant dans une urne contenant p. boules et sans remettre les boules dans l'urne) de lui donner i^'' à chaque maximum de la liste
que l'on obtient, en écrivant les numéros sortis dans leur ordre de tirage. Quelle est l'espérance mathénmatique?
Supposons qu'il y ait niaximunn au i^ tirage; on a tiré trois boules a, b, c, la {i — i)% la'i* et la (t-h i)* et, puisqu'il y a maximum/ a < 6 > c.
Il y a /u(.I cas possibles. Sans toucher aux autres boules, je permute entre elles a, b^ c; six combinaisons sont possibles, dont deux sont favorables, a, è, c et c, 6, a.
ï)ans ce groupe, la probabilité pour un maximum est
donc ■^. Or, il y a ^^ de ces groupes, correspondant au i^ tirage, mais, pour ce tirage^ l'espérance mathématique esii
L'espérance mathématique totale sera la sonâme des espérances mathématiques partielles; d'autre part, sauf conventions spéciales que je ne suppose pas, ni le premier, ni le dernier tirage ne peuvent donner lieu à paiement-
L'espérance mathématique totale est donc ^— -^ — .
26. Soient n joueurs qui ont chacun un dé et mettent chacun i^'" comme enjeu : celui qui amènera le point le plus fort ramassera les n francs ; et si plusieurs joueurs obtiennent le même point, plus fort que celui de tous les autres, ils se partageront l'enjeu.
Le premier joueur, A, amène le point K : quelle est, à ce moment, son espérance mathématique?
La probabilité pour qu'un autre joueur déterminé amène
le point Rest-x; pour qu'il amène un point plus petit que K,
i/espérance mathématique. 65
Quelle est la probabilité pour que A partage l'enjeu avec i— 1 joueurs déterminés? Ces i — i joueurs doivent amener le point K, les n — i autres un point inférieur à K. La probabilité cherchée est donc une probabilité composée, le
produit de f^l par ( — r— ) •
Ainsi la probabilité pour que Apanage avec i — i joueurs
(K lY^^
déterminés est -^—^ On peutformerautantdegroupes
de 2— I joueurs qu'il y a de combinaisons de w ^ i lettres
l— l 'à l— I,SOlt-^ --r- -r-
{i— i)! {n — i)\ Chacune de. ces- combinaisons donne à A la probabilité
ci-dessus, et le gain correspondant est -r; l'espérance mathématique de A est
(« — i)! (K — i)»-^' n ni (K — i)"-''
{i — i)\{n — i)\ 6^-1 i~il{n~i)\ 6"-'
11 faut faire la somme de ces espérances mathématiques depuis i=zi jusqu'à f = /i, ce dernier cas étant celui oii. l'enjeu est partagé également par tous. Or
est le développement du binôme
à part le terme qui correspond à f^=:o, soit
(k — iv
6«- L'espérance mathématique est donc
66 CHAPURK m.
±1. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — La théorie de respérance inallîéinali(|ue [i domié lien are paradoxe célèbre. Paul lance nne pièce de monnaie; si elle retombe pile, il pai(3 i'"" à Piei re et la partie est terminée; si elle retombe face, 01» recommence. Si au deuxième coup on amène pile, Pierre reçoit :>.'■ et la partie est teiininée; si l'on amène face, ori recommence. An Ijoisième cojip, Pierre recevra 4*^% on bien la partie continuera, et ainsi de suite. Si la pièce présente lace n lois de suite et (jue le in i- i)" coup soit pile, Paul paie 2" IVancs.
Quelle somme doit dormei" Pierre à Paul au commencement de la partie pour (pie le Jeu soit équitable? En d'autres termes, quelle est l'espérance mathématique de Pierre ?
La probabilité d'amener pile au pi'emier coup est -; l'espérance correspondante est--
La probabilité d'amener face au [)remier coup, puis pile an second, événements indépendants, est une probabilité
composée,-- L espérance inathematiqujs est - x 2 =r -.
Au troisième coup, cette espérance est - x 4 ==
Au n'' coup, — -— X 2'
Tous les termes de la série sont égaux à -; l'espérance
mathématique de Pierre est infinie : il n'achèterait jamais trop cher le droit déjouer.
On a voulu expliquer Ce paradoxe de plusieurs manières. Paul n'est pas infiniment riche, a-t-on dit î sa fortune est comprise, par exemple, entre 2/^ et 2/'-^^; si l'on amène pile an {p -^lY coup, il devra 'i^ francs (»t pourra payer; mais, si
LESPÉRANCE MATHEMATIQUE. 67
l'on amène pile au coup suivant, il devra 2''+* francs, et sera insolvalble. Pierre ne peut donc toucher que 2^ francs;
son espéfance mathématique devient
III, I I i
La série devient
p -{- i termes sont égaux a -» le reste a pour somme-;
l'espérance mathématique est
p-hi . j
Si la fortune de Paul est, p«r exemple, d'un milliard, on pourra faire/? = 3o, et l'espérance mathématique de Pierre
sera ^- — 16. On voit qu'elle se réduit considérablement.
On a dit aussi que le plaisir de gagner i ooo^'" est plus grand pour celui qui n'a rien que pour le millionnaire; que le plaisir de doubler sa fortune est indépendant de cette fortune.
Le plaisir, quand on possède une fortune ^, de gagner une somme A, sera mesuré par
On a remplacé l'espérance mathématique par Tespérance morale.
pu étant la probabilité de réaliser un gain h, l'espérance
morale sera
^Pfi lo§--
œ -\- Il
ou
I , X -\- \ I , J7 -f- :2 1 , ^ + 2' -lOi^ h ylOg h. . .-+- — —rlOg
pour le paradoxe de Saint-Pétersbourg.
Cette série est manifeslemeot convergente.
28. Ruine d'un joueur. ~ Deux joueurs, dont l'un, A, possède m francs, et l'autre, B, n francs, jouent à i*''" la partie et poursuivent le jeu y «^çf/^'à ce que V un des deux soit ruiné. La probabilité pour que cet événement se produise sera une fonction de m et ai, cp(m, /i), et comme la somme des fortunes, m -h /i n^^, est une constante, 9 sera fonction de s et /2, c'est-à-dire de n. Appelons 9(/0 la probabilité pour que B finisse par être ruiné : nous supposerons ici que les conditions ne sont pas équitables.
Si A, à chaque partie, a la probabilité p de gagner, B a la probabilité i — p.
On joue une partie nouvelle. Deux hypothèses se présentent : A va gagner et B aura {n — lY'; B gagnera et aura (/i-hi)^
o {n) comprendra donc la probabilité pour que B perde cette partie et finisse par être ruiné, soit /> 9(/ï — i), et aussi la probabilité pour que B, gagnant cette même partie, finisse également par être ruiné, soit (i — p) cp (/i-h i).
(l) (p(Al) =r/? cp(/i — l) + (l — /?) 9(n H-l).
Cette relation de récurrence servira à déterminer 9 (w). 11 faut, en outre, connaître les conditions limites.
l'espérance mathématiqle. 69
Si ^~o, B serait déjà ruiné; si /i = 5, /;; — o, A n'aurait rien. Donc cp (o) — i, cp (.ç) =:o.
