Résolvons l'équation de récurrence pius générale

Ak 9(/i-i-K )-hA K i 9 {/ï-i-K— 1 )-+- . . . -f- Al 9 (/z-h I )-f- Ao <p (/î) = o,

où les A sont des coefilcienls constants. C'est une équation aux différences finies, linéaire et à coefficients constants, dont l'intégration rappelle celle des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Supposons qu'on ait trouvé K solutions 9, (/?), 9., (/i),..., 9k (^), (le telle sorte que

Nous aurons encore une solution en posant

En effet, multiplions le 1 précédent par a,, et faisons la somme des termes obtenus en faisant varier i.

^ai^kg(ifi{n -h g) —^K^^ai^s^A'i H- q) - o.

Si 9,, 92, ..., 9k sont linéaire^nent indépendants, on aura ainsi la solution générale. Supposons, en effet, que ce ne soit pas la solution générale; alors

cp ( /i ) = «1 9i H- «j 92 -h . . . -t- aK 9k -H '^^•

Je vais choisir a,, a,, ..., «k de façon à satisfaire au sys-

i 70 CHAPITRE m.

Itème suivant

cp(o) r= a,cpi(o) -h «292(0) -h. . .H- aKcpK(o), <p(i) =ra,cp,(i) -ha.>cp2(i) 4-. . .-f- ahCpK(i)» i ,

9(K — i) = aicp,(K — j) -f-a2 92(K — i)-h. ..-haK9iv(K — i).

Ces K équations linéaires déterminent a,, a,, ..., ««, à condition que leur déterminant soit différent de .^éro, ce qui aura lieu quand 9,, cp2, ••., 9k seront linéairemeijt indépendants. Dans ce cas, on aura i

et par suite la relation suivante

AK^(/i+K)H-AK.-i + (/?-t-K— i)-f-...+Aii];(/Jt-hi)+Ao^(/i) = o.

Jefais/i = o, tous les termes s'annulent sauf Ak<J^ (K); donc ^ (K) est nul.

Si je fais n:= i, ^ {K -hi) est nul, ....

Donc d> (n) est identiquement nul, et o{n) se réduit à «icpi-h «292 -H. ..H- aK9K- Ainsi, il suffit de connaître K intégrales particulières linéairement indépendantes pour connaître l'intégrale générale.

Pour trouver K intégrales linéairement indépendantes, je pose 9 (/i) — (3". Alors

Ak(3"^'^+ Ak . 1 jS"-^»^-' ^ . . . H- Ao(i«=: o

AKi3'^-+-AK-ip'^-' + ...-+-Ao=:o,

d'où K valeurs particulières de (3, et par suite K intégrales particulières.

11 se présenle une exception, quand l'équation en (3 offre

L ESPKRANri: MATIIKMATIQUR. 71

des racines multiples, par exemple, une racine double,

j3, = |32; eu faisaul varier les coefficients d'une manière

coulinue,il peut arriver, eu effet, ()ue deux racines deviennent

égales. On n'a plus alors K solutions.

3" — 6" 3J et iSj sont des solutions; '-^ ^<'st une combinaison

Hl " p2

linéaire, et, par conséquent, une solution. Quand [3i tend vers

|3j, par raison de continuité, on a encore à la limite une

solution. Cette limite s'obtient en ditTérentiant, |)ar rappori

n 3""' à 3, les deux termes du rappori, ce qui donne — — — ;

n^"'^^ ou, si l'on veut, n ^" est donc une nouvelle solution. Avec une racine triple, on aurait en outre n^ p", etc.

30. Appliquons cette rèj^le au problème (pii noiis occupe, c'est-à-dire à, l'équation (i) du paragrapbe :28. Faisons 9 (A^) — 3": il viendra

Cette équation du second degré a une racine évidente, (3=1; l'autre est — - — : c'est celle valeur (jue nous appellerons désormais 3. Les deux solutions [3'^ et i donnent pour la valeur générale de 9 (//)

Les conditions limites tlonnent les deux constantes arbitraires

cûin)—^ II-.

d'où et

?(«)=Lp.- ■ . .,-

Celle expression devient iilusoire, si l'on suppose (3=1. Quand 3 = ^^P — ^^ ^^ j'^u serait équitable. On cherche la vraie valeur de cp(/z) par la régie de l'Hôpilal

Trois cas sont à considérer :

1° (3 > 1. Le jeu est avantageux à A, /)> I — ,

2° (3 = 1. Le jeu est équitable,/? = i — /;, , . .ç — /i

3° (3< I. Le jeu est avantageux à B, />< i /?,

La probabilité pour que B se ruine est K~~ • Pour avoir la probabilité pour que A sa ruine, on permute p et i — ;?; (3 se change en g et n en m. On trouve donc

l'espérance mathématique. 73

c'est-à-dire