J. Bertrand a calculé le moment probable de sa ruine
Pour le banquier, (3< i, la probabilité pour que la banque saute est|3"; (3 est le rapport des chances favorables au ponte, aux chances favorables au banquier ; supposons
P — — j c'est-à-dire (3 — i -.
74 CHAPITRE m. — l'kspérance mathématique.
n est la fortune du banquier, en prenant pour unité l'enjeu de chaque partie; il y a un maximum pour cet enjeu, d'où pour ti un certain maximum; soit n = looo.
La probabilité pour que la banque saute est ,
ou, à peu près, e~^°, quelque chose d'extrêmement faible.
Nous arrêterons ici l'étude des cas qui se ramènent à de simples problèmes d'analyse combinatoire.
33. Nous abordons, maintenant, les théories qui se rapportent à la formule de Stirling, au théorème de Bernoulli et aux probabilités des causes déduites d'épreuves répétées.
Supposons que les deux événements A et B, de probabilités respectives p et^, soient contradictoires. A chaque épreuve, l'un d'eux se produit certainement, et ils ne peuvent se produire tous deux; alors
la probabilité totale est égale à la certitude.
On répète m fois l'épreuve : à chaque épreuve l'un des deux événements se produit. Ainsi, avec un dé, l'événement A peut être l'arrivée du point 6 et l'événement B celle
des autres points; /? — -, et^^r^-
A se produira un certain nombre de fois et B aussi. On demande la probabilité pour que A se produise a fois, et B m — a fois.
On suppose que la probabilité reste la même à chaque
épreuve. Avec le dé, la probabilité est toujours - pour amener le point 6. Au contraire, avec un jeu de 32 cartes,
j6 CHAPITRE IV.
la probabilité de tirer un roi^est ^ à la première épreuve;
elle est tt- ou ^r- à la deuxième, suivant qu'on n'a pas amené
Ôl Ôl
ou qu'on a amené un roi à la première.
34. Cherchons d'abord la probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre déterminé
AABAABBAB ;
les probabilités de chacun de ces événements seront
ppgppqgpg,
et la probabilité composée, la probabilité pour que tous ces événements se produisent à la fois, est
En général, la probabilité pour qu'il se produise dans un ordre déterminé a événements A et m — a événements B est
Elle est indépendante de Tordre considéré*
35. Si l'on veut que les m épreuves donnent, dans un ordre quelconque, a événements A et m — a événements 6, en vertu du principe de la probabilité totale, ia probabilitécherchée sera la somme d'autant de termes égaîix à pa.qm-a. qxi*'û y a d'unités dans le nombre des permutations avec répétition de a lettres A et de m — a lettres B ; ce
nombre est
La probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre quelconque est
c'est l'un des termes du développement de [p + q)"^.
Si je fais la^soinme de tous les termes que je puis obtenir en faisant a égal à o, à !,..., à m, j'obtiens
La somme des probabilités de tous les cas possibles doit être égale à l'unité, puisqu'il est certain que l'un de ces cas possibles se produira, et un seul.
36. Quelle est la plus grande de toutes ces probabilités? Je vais calculer le rapport d'un terme au précédent;
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