PQ

(.a-hi)! (m — a — i)!'^^. ol -\- \ g

De même en changeant a an a — i

Ufx r)i — a-\- \ p

Pour que Wa soit la plus grande de toutes les probabilités^ il faut que

Donc

c'est-à-dire

-<i et ~>i.

Ceci peut s'écrire

Comme

et (m — a H- i)/^ > a^,

ip <cc(/ -\- q

et mp — cf.p ^ p:> cf.q.

ap -{- cf.q -

mp <^a^ q

et nip '> a — p.

De telle façon que nous arrivons aux inégalités inp -h /; > a > mp — q.

D'où une limite supérieure et une limite inférieure pour a. La différence de ces deux limites est /? -4- <7 = i ; ainsi a est compris entre deux nombres, généralement fractionnaires, qui diffèrent d'une unité, et, comme a est entier, ces deux limites déterminent a.

H y a exception quand mp -\- p est entier; alors mp — q l'est aussi. On pourrait hésiter pour a; deux termes consécutifs dans le développement de (/> -h q)"^ sont égaux entre eux.

Si m est très grand, le rapport-— est compris entre p -\

et p : donc — sera voism de p,

C'est une forme d'établissement du théorème de Bernoulli.

Si je choisis a de façon que Ua soit le plus grand pos sible, le rapport du nombre des événements A au nombre des événements B sera à peu près celui des probabilités p et q.

37. Quelle est la probabilité pour que a s'éloigne d'une quantité donnée h de m pi Soit

a — mp =z h .

J'appelle li Vécart et je vais chercher la valeur probable de la valeur absolue de cet écart, ainsi que la valeur probable de sou carré.

Occupons-nous de la valeur probable de h, de la valeur probable du module | A ] de /?, de la valeur probable de h\

Je vais considérer la valeur probable d'une quantité quelconque M; c'est 2 M Ma-

jLà "^ jU a! (m — a)I ^ ^ '

le second membre est un polynôme entier, homogène et de

degré m par rapport à /> et q, que je désigne par F (/>, q).

Cherchons à en déduire la valeur probable de Ma; c'est

Nous avons passé d'une expression à l'autre en multipliant par a les termes successifs; en différentiant p^q"^-^ par rapport à/?, nous aurions eu a/?«-* q'"-^\ la valeur probable de Ma est donc

pd¥ dp

Les nombres p et q ne sont pas indépendants, puisque leur somme est i. On a fait la différentialion comme s'ils l'étaient, du a difYérentié par rapport à p comme si q était constant. De plus, M peut dépendre de p ; li dépend de />. J'éviterai cette confusion de la manière suivante : A la place de p et q, j'introduis deux variables auxiliaires, X et/, et je considère la fonction

, , al {m — (y.}\ -^

8o CHAPITRE IV.

Si M dépend de p, je n'y remplace pas 7? et q par x et y; la valeur probable de M est bien alors F {p, g), et

est bien œ

dF dx

On y remplacera x et jf par p ei q après la différentia-

tion.