J. Bertrand présente les objections suivantes

La fonction 9 a été prise sous la forme <o{z — ^1), tandis qu'.en réalité elle devrait être cp(z,^i). De plus, on a fait ij;(s) — I, et Ton ne peut l'affirmer a priori.

Autre objection : La moyenne est-elle la valeur la plus probable ou la valeur probable? Ce n'est pas la même chose.

Supposons qu'une certaine grandeur x puisse prendre pour valeur

I, 2, ., ., n — ^ ou /i,

et que chacune de ces valeurs ait.pour probabilité

pu Ply "-y Pn->

de telle sorte que

La \di\eur probable de x sera par définition j: r= /?, -h 2/?2 -f- ...-+- «/>„.

La valeur la plus probable de x sera celle qui correspond au plus grand des nombres/».

Dans le cas du problème des erreurs, la valeur probable de z est donc représentée par le rapport

dz z^{z) Q^{Xi, z) (s^{Xi, z) . . .^{jCn, z)

dz^{z) (?{X^,2) 9(^2,2) . . . 0{XnyZ)

J. Bertrand dit que Gauss aurait dû chercher, non pas là condition pour que la moyenne soit la valeur la plus probable de ^, mais la condition pour que la moyenne soit la valeur probable de z.

111. On peut chercher à s'affranchir des hypothèses que nous avons faites, à savoir que cp(^,,2) était de la forme 9(5 — Xi) el (\ue ^{z) était égale à i;on peut se demander quelle forme on pouvait donner à ces deux fonctions pour que la moyenne arithmétique de :r,, x^, .\ ., x„ fût bien la valeur la plus probable de z.

En d'autres termes, cette moyenne arithmétique, comme nous l'avons -déjà dit, doit rendre maximum

^{z)(^{xiyz)(^{xt,z)...(^{x„,z).

Quand il y a maximum, la dérivée logarithmique est nulle; c'est-à-dire que si Ton pose

J— =Zt{XlyZ),

on doit avoir

Celte égalité d.oit être satisfaite par la valeur de z que définit l'équation

.ri 4- JTa H- . . . -H vr„ = «-S.

Je vais donner à jr,, œ^, ..., ^n des accroissements dxi, dx^, .... dxn- Je suppose que z ne change pas et que la dernière égalité continue à être satisfaite; x est alors une constante, et

dxy 4- û?J72 H- • . . -h <^^rt = o.

Ceci ne peut avoir lieu que si

d^{x^) dFjx,) dF{xn) dxi dx^ dxn

Donc

dxi ^

où A' est fonction de z seulement; et ¥ = A'x,+ W,

B' étant aussi fonclion de z seulement. La condition à remplir devient

A.'{Xi~\-'X2-h. . .-h x„) -h nW -^X — ^y c'est-à-dire

Celte relation doit être satisfaite quels que soient z ei n; donc

c'est-à-dire que ^{z) est constant et que

A'c-hB'rrrO.

Voilà ce que deviendrait l'analyse de Gauss si l'on voulait la reprendre en tenant compte de la première observation de J. Bertrand.