Je suppose qu'on ait effectué différentes mesures

d'une même grandeur : quelle est la probabilité pour que la véritable valeur soit comprise entre z Ql z ^ dz'i

]i faut introduire une /o/ «ie^e/rewr^. Je suppose que la véritable valeur de la grandeur à mesurer soit z; quelle est la probabilité pour que le résultat de l'observation soit compris entre a;, et ^i -h rfo^i? Je pourrai dans tous les cas représenter cette probabilité par

Cette loi des erreurs étant admise par convention, quelle est la probabilité pour que z soit compris entre z et z ->r dz'^.

C'est un problème de probabilité des causes, et nous allons calculer

IWiPi

Tïj/ est la probabilité a priori pour que z soit compris entre z el z-\-dz; cette probabilité sera représentée par

mi=^^{z)dz.

4» étant une fonction qui dépendra de ce que nous savons sur z,

pre^i la probabilité pour que, à supposer que la quantité observée soit 5, les observations aient donné des résultats compris entre

^1 et j?i-H<f^,, ^2 et .Vi-hdx^, ..., ^„ et ^„-}-<f^„. La probabilité respective de ces événements est

Pi est la probabilité pour que îous ces événements se soient produits à la fois; comme ces événements sont indépendants, c'est une probabilité composée

Pi^rzdXi dx^. . .<i/z„ cp(;r,,^) cp(^2> z). . .9(^„, z).

La probabilité a posteriori cherchée a pour numérateur

dzdxy dx^. . .dx,^ ^{z) 9(^1, z) 9(^2» -s)- • -^C-^^n, z).

Pour obtenir le dénominateur 2?ït//?/, il faut intégrer cette expression par rapport à z seulement. Dans le quotient, dx^y dxiy . . ., dx^ sont des constantes qui disparaîtront, et il restera pour îa probabilité

dz^jz) (i^{xyy z)xs^{Xi, z) . ..y(a7„,^)

^^ iK^) cp(^„ >c) 9(a?2, 5). . .cp(;r„, 5)

108. Cela ne nous apprendrait pas grand'chose si noù^ n'avions aucune donnée sur 9 et ^. On a donc fait une hypothèse sur 9, et cette hypothèse a été appelée loi des erreurs.

Elle ne s'obtient pas par des déductions rigoureuses ; plus d'une démonstration qu'on a voulu en donner est grossière,

LA THEORIE DES ERREURS ET hk MOYENNE ARITHMÉTIQUE. I7I

entne autres celle qui s'appuie sur raffirmation que la probabilité des écarts est proportionnelle aux écarts. Tout le monde y croit cependant, me disait un jour M. Lippmann, car les expérimentateurs s'imaginent que c'est un théorème de mathématiques, et les mathématiciens que c'est un fait expérimental.

Voici comment Gauss y est arrivé.

Lorsque nous cherchons la meilleure valeur à donnera s, nous n'avons pas d'autre ressource que de prendre la moyenne entre ^i, ^2> • • •> «^w» en l'absence de toute considération qui justifierait un autre choix. 11 faut donc que la loi des erreurs s'adapte à celte façon d'opérer. Gauss cherche quelle doit être 9 pour que la valeur la plus probable soit la valeur moyenne,

109. Si dz est constant, la probabilité pour que z soit compris dans Fintervalle dz est

^{z)(s^{x-, z)(^{x^,z). . .(s^{Xn, z)dz.

La valeur la plus probable sera celle pour laquelle cette fonction sera maximum. Supposons ce maximum atteint quand 5 est la moyenne.

Gauss a d'abord égalé la fonction ^ à i, puis il a admis que 9(^1, 2) était de la forme 9(^ — ^1).

Quelle doit être alors la fonction 9 pour que

&oit maximum avec cette valeur de ^?

Égalons à zéro la dérivée logarithmique de l'expression précédente par rapport à 5,

<f,'{z-X^) ^ (^'(Z — X^) ^ ^^^ ^ 9'iz-^n)^^ 9(Z— .27,) 9 (- Xi) '" (f{Z — Xn)

lyi CHAPITRE X.

Je pose

L'équation à vérifier devient

Cette condition devra être réalisée toutes les fois que

Je vais donner à ^i, ^2, ..., ^„ des accroissements d^iy dx^, ..., c?jr„; z restant constant, la somme des x doit rester constante et l'on doit avoir

Y'{x,)dx^-\-V'{x^)dx^-^...-^¥'{Xn)dXn—o, dxi -+- dx^ -4- . . - -h dxn = o.

Ces deux équations doivent être identiques, d'où

c'est-à-dire que F'(^,) est une constante que je représente

par —a.

F(^,) = «(2 — iTj) -H-i»,

et

log(p(-s — ^i) — '^ ^^"^ -\-b{z — x^) + c.

Déterminons les constantes «, i», c.

F(;rO -h F(^2) -+-. . . 4- F(a7„) = 2a(:j — ^,) 4- /i^> = o, ' a?i4- J72-+-.. .-f-^rt— /i>s — — 2(z — 0^1)1=0.

Comme ces deux équations doivent être identiques, on a

et l'on peut écrire

ni z — x^)^

c se détermine par la condition

(q{z — J7i) dxx z;z I.

En posant

on trouve

9iy)^s/l^-''''