Une autre objection a été faite à Gauss

La quantité qu'oa doit prendre pour z, ce n'est pas la valeur la plus probable, c'est la valeur probable. En effeX, la valeur la plus probable est celle qui correspond à la plus grande valeur de /?; elle peut être très différente de toutes les autres, tandis que celles-ci peuvent se grouper très près l'une de l'autre, ce qui donne fort à croire qu'elles diffèrent très peu de la véritable valeur. Elles n'interviennent pas dans la valeur la plus probable, tandis qu'elles contribuent toutes à la valeur probable qui est par définition

La valeur probable de z est

(Les deux quantités sous le signe / ne diffèrent que par

le facteur z qui figure en haut. )

Il faut choisir 4» et <p de façon que cette valeur probable soit la valeur moyenne

X,-\- X^-^,. .-^ Xn

114. Pour cela, je suppose que p observations aient donné le résultat jc, ; p autres, le résultat x^\ ... ; enfin, les/> dernières, le résultat ^„. C'est un même nombre /?, et je le suppose très grand.

Les deux intégrales porteront sur^ facteurs égaux à 9(a7,% z), sur p facteurs égaux à ©(^2, ^), . . ., sur/? facteurs égaux à 9 (^„,^).

Je pose

O = 9(jr,, ^) 9(^2, ^)- . .cp(-3:"n, ^). Il s'agit de vérifier que

z^{z)^i' dz

'^{z)<^p dz

Cette égalité devra avoir lieu quelque grand que soit/?.

Si, au lieu de deux /, nous avions le rapport de deux 2;^, nous aurions à considérer le rapport

6iXî4-62X?4-...-f-6„X^'

où les Xi, X2, . . . , X„ seraient fonctions des ^1, ^2, • • • , ^« et les a„ «2, • • -, ««» ^. ^2' • • -, ^n des fonctions de 2.

Je suppose positives toutes les quantités X. Quelle est la limite de ce rapport quand/? croît indéfiniment? Soit X,- la plus grande des quantités X : la limite sera ■^•

En effet, ce rapport peut s'écrire

a.,XT

Toutes les fractions =~ sont plus petites que i, sauf une

seule, celle qui correspond h k = L Donc, quand/? augmente

... cit indéfiniment, le rapport considéré a bien pour limite ^•

Étendons ce résultat aux intégrales

f(^i{z)Q>Pdz et i ^.{z)<^i'dz;

<pi(^) joue le même rôle que a,, et cpsC^) que bt. Quelle est la limite du rapport de ces intégrales? Soit so la quantité qui rend O maximum. Cette limite sera

yi(^o)

c'est-à-dire ici