TÛT

Cette quantité Zq doit être la moyenne arithmétique.

145. Nous revenons à la même question que précédemment : <^ doit être maximum quand z est la moyenne arithmétique. Nous connaissons la condition pour qu'il en soit ainsi; c'est

les dérivées A' et B' des fonctions de z, A et B, étant liées par

A'z-hB'r=o.

Quand on suppose que <p dépend seulement de la différence z — ^1, sa dérivée logarithmique par rapport à z,

A'^i4-B' doit être du premier degré en z — x^; alors

A' et 0(^1 ) sont constants.

Dans le cas général, c'est-à-dire quand on ne suppose pas que 9 dépend seulement de z — :r,, il reste pour ©(^i, z) trois fonctions arbitraires à déterminer : d'abord 4'(^)» ^lue l'analyse actuelle ne permet plus de déclarer constant comme dans le calcul de la valeur la plus probable; puis 0(^1 ); puis A. Quant à B, il est lié à A par une relation.

116. Il s'agit de déterminer un peu plus complètement ces fonctions arbitraires.

Je vais supposer p observations donnant pour résultat x^ : la moyenne arithmétique sera x^; alors

ï8o CHAPITRE X.

et Ton doit avoir

d'où

I z^{z)^Pdz = a:i j^{z)^Pdz; Qp f{z — a:^) ^{z) eP(^^^-^^^ dz ~ o.

Celte relation doit être satisfaite quels que soient/? et ^,. Qp a pu sortir du signe / puisqu'il ne contient pas Zy et nous ne pourrons le déterminer par celle condition.