Traitons comme exemple
Les a ne peuvent être pairs que si : i° a, = 4, et les autres nuls; ou 2" a, = «2 ^= 2, ce qui conduit à
R est l'ensemble des termes dont la valeur moyenne est nulle; le coefficient de 2r? y\ est — ; — ; = 6. Traitons encore
Les a ne peuvent être -pairs que si : i'' «1= 6; ou 2° x^ = 4» «2=2; ou 3° «, = «2= <5Î3= 2.
R étant l'ensemble des termes dont la valeur moyenne est nulle, on a
(71-H/2 4-'. . . + y«r = ^y\ + ^^^j\y\ + <è^^y\y\yl + h.
Le coefficient de liy\y\ est j-j — :^=:i5; le coefficient de
Pk f ^/îr^/s'est^^^,^, =90.
Je m'en vais convenir de désigner la valeur moyenne de/f par M^. D'ahord la valeur moyenne de
sera
En effet, dans i/J tous les termes ont la même valeur
moyejine, et il y en a n; dans 2/5 y\, tous les termes ont la
nin — i) même valeur moyenne et il y en a — ^^
igS CHAPITRE XI.
La valeur moyenne de (y, + J2-1- • • • -^ fnY sera
(/l-+-/î-H-'.. + 7nr
= nM^-h ion{n — OMiMa^ 90—^^ ^ ^ M^
Dans IjJ jKa» il y ^ autant de termes que d'arrangements de /i lettres 2 à 2; le coefficient de M4M2 est doiic
138. On pourrait poursuivre avec d'autres valeurs de 2p; les expressions deviendraient de plus en plus compliquées.
Tenons compte de ce que n est très grand; il y a dans le second membre des termes en /i, en n^^ en n^^ etc.
A titre d'approximation, ne considérons que les termes du degré le plus élevé en n. Pour 2/? = 4, ce terme est S/i^MJ; pour 2/>r=6, ce terme estiS/i'Mj.
Ainsi l'erreur moyenne
^ ri4-/2H-. .. + /;»
a comme valeur probable de sa quatrième puissance
et de sa sixième puissance
Calculons cette valeur probable en général,
(/.+/.+.. .+/»)''=2: [^j^f^, I,yf'yt'. ■ .7?.].
Dans le second 2 on ne permute que les indices des y.
Ne conservons que les termes où tous lésa sont pairs; les autres ont une valeur probable nulle. 11 vient
Tous les termes sous le second 2,
ont, en effet, la même valeur probable. Soit N leur nombre ; évaluons N.
139. Je suppose d'abord «jiirag. Si nous permutons y, et /s» nous retrouvons le même terme. Si nous tenions compte de l'ordre, nous aurions autant de termes que d'arrangements 2 à 2 de /ut lettres choisies dans les n lettres /i, js» •••> /«î nous pourrions avoir ainsi des termes répétés.
Si les juL exposants étaient différents, N serait égal au nombre des arrangements de n lettres [i di [x^ c'est-à-dire
Je suppose [i-^ exposants égaux à «i, fXa à «2, . . . , ftK à «k ; de plus, je suppose «i, «2» • • -, «k différents, et
Je considère l'un des arrangements formés avec ces exposants; j'y permute d'une manière quelconque les fXj lettres dont l'exposant est ai, les /jlj lettres dont l'exposant est aj, ..., les fjLR lettres dont l'exposant est an. Je ne change pas le terme correspondant; par conséquent, ce même terme serait reproduit par
(/i — /j.)!fx,!fX2l . .. p-k! n{ii — i). . An — /:x -h I )
ft,! floî ••• f^K
Ainsi N est un polynôme du degré fj. en n,
La plus grande valeur que puisse prendre |ui est/».
En effet
CZi -h «2 + • • • + ^|X= 2/?.
Les a étant tous pairs, la plus grande valeur de // correspondra à
Il n'y aura donc qu'un seul terme de degré /?, par rapport à n, dans N; avec notre ordre d'approximation, c'est le seul que nous devons conserver. Réduit à ce terme, N a la valeur suivante :
En effet, tous les or étant égaux, il en résulte que les lettres
jUL,, jjLai ' • j l^K se réduisent à
Dans N, le terme en nP est
nP
