On peut écrire

P = {x,-zy-h(x^-zy-h.,,-h(x^-z)\

P est un polynôme du second degré en z qui atteint son minimum quand 2 est la moyenne arithmétique des quantités x; représentons ce minimum, qui est positif, par ftaK

Je pose

d'où

ds-dy

Pr=/j(./«^-a«).

Alors

TSiPi

IWiPi

devient

h^e-"^<y'-^<^*)t\,dydh jt^e-'^^^y'^'^'^^dydh

Pour /, comme pour ;j, on intégrera de — «» à 4- «.

180. Cherchons la probabilité, pour h seulement, d'être compris entre h et h-^dh^ y ayant toutes les valeurs possibles,

dh f //^e-«A(r'+a»),j;^^ dh h'e-'^^^y'^'^'^^dy

4» dépendait de ^ et A; il dépend maintenant de y el A. Restreignons d'abord le problème en supposant toutes les valeurs de / également probables, c'est-à-dire ^ indépendant de 7.

On a

Ç e-''/'(r'+«») dy — e-«'*«' f e-«'^J'' dy z=i <j-»/i*'4 /JL.

CALCVL DE L'eRBEUR A CRALMjke. iSS

lia probabilité relative à^ seul devient alors

dh.h « g-"^«^tj;

f dh.h^

181. Quelle est d'abord la valeur la plus probable de A? Cherchons le maximum du numérateur, puisque la probabilité lui est proporlionnelle.

Ce numérateur peut s'écrire

Or le maximum de <^^<I»«x/'a lieu en générai quand

f el, SI n est très grand, on peut négliger*^; le maximum est

donc atteint en même temps que celui de <^.

Ici <^ est v/^e^-***; écrivons que la dérivée logarithmique est nulle :

— j a'=ro.

On a ainsi la valeur la plus probable de h.

On remarquera que, en supposant un nomlii'e très grand d'observations, la fonclion arbitraire 4^ n'intervient pas. Ce n'est pas étonnant : l'hypoibèse que nous avions fondée a priori sur le plus ou moins d'habileté de l'observateur disparaît devant le grand nombre de résultats que nous contrôlons.

182. Quelle est la Valeur probable de hPt Celte valeur probable est

J^oo n— 1 f h * e-'^'^^'^dh

Si n est très grand, nous savons vers quelle liniite tend le rapport de ces deux- intégrales; c*est

ho étant la valeur la plus probable. Ainsi la valeur probable de hP est /ij.

Cette conclusion n'est vraie qu'à la condition que n Soit très grand et que p soit fini.

Faisons ^^=i: nous arrivons à des intégrales eulériennes

Le rapport des valeurs asymptoliques donne ce qui est bien notre conclusion.

CALCUL DE l'erreur A CRAINDRE. 257

Mais, si l'on ne suppose pas p fini, elle ne serait pas applicable. Supposons/? très grand, égal à - par exemple :

y-KP) pPe-Psfi'Kp

Le second membre se réduit à a/'e-^ v^(a^)~''. On trouve donc pour la valeur moyenne de hP une expression très différente :

iPe-P\fi

— î— ou

183. Probabilité de l'erreur commise. — Le problème se divise en trois :

1® On peut se proposer de calculer la probabilité a priori.

On n*a pas encore fait les observations ; on sait seulement qu'on va en faire n et qu'on appliquera la méthode des moindres carrés. Nous connaissons aussi l'habileté de l'observaleur.

1° Le problème est entièrement différent, si nous nesavons pas à l'avance la valeur à attribuer à la constante qui entre dans la formule de Gauss. Nous ne connaissons pas l'habileté de l'observateur, mais nous, connaissons les résultats des observations.

3° Nous connaissons Thabileté de l'observateur et les résultats des observations.

184. Premier problème. — On ne connaît pas les résultats, mais on connaît l'habileté de l'observateur. On suppose alors que le poids est le même.

Soient ^,, /j, ..., /„ les erreurs qu'on va commettre; p.

ji?,, ^2> •••» ^n seront les valeurs approchées des quanlités vraies s,, z^^ ..., z^.

Celles-ci seront liées par q r=z n — p équations de condition :

Si l'on substitue à z^, Zo, .-.^Zn les quantités ^i, ^2, ./ , :r„, ces équations ne seront pas satisfaites, et l'on aura

OÙ fjL,- est très petit.

Je remplace a:^ par /<•-+- ^a-, et je développe suivant les puissances cioissanles de >/.., en m'arrêtant aux termes du premier degré :

Pour fixer les idées, faisons n =: 3, et supposons qu'il y ait deux équations de condition

AiJ'i-t-As/j-hAg/a^f^»

fjL, fx' sont très petits, mais je ne connais pas leur valeur, puisque les observations ne sont pas faites.

Il s'agit de calculer les corrections yi à effectuer sur les valeurs observées^,; les corrections dépendent évidemment de /JL et de //', et nous aurons, par exemple.

Je ne connais pas la forme de 9, mais je puis développer suivant les puissances croissantes de fx et de jj.', et, comme les pL sont très petits, négliger les carrés des /jl; jeserai con-

CALCUL DE l'erreur A CRAINDRE. 269

duii à poser

/i = ^tf^H-^>',

/2 = X2^-hX;fx',

en général

les X étant des constantes à déterminer. Ganss les détermine de façon que la valeur probable de (//— yî)', c'està-dire de

soit minimum.

// s'agit de la valeur probable en supposant que l'on connaisse d' aisance l'habileté de l'observateur, mais non les résultats. Si on connaissait les deux, la solution serait en général différente.

185. Pour bien faire comprendre cette différence, je vais examiner le cas le plus simple : on a observé plusieurs fois la même quantité z.

On prend la moyenne des observations, ce qui est conforme à la méthode des moindres carrés.

L'erreur commise sur la moyenne sera

La probabilité a priori de l'erreur commise, pour la première observation, par exemple, sera (p (y,) dy,. La probabilité a priori pour que z soit compris entre z et

z -h dz éerd ^ {z)dz.

Cherchons la valeur probable de ("^ — — — " ) >

quand on ne connaît pas les résultats des observations, et.

^6o CHAPITRE XIV.

qu'on connaît 4^,

X 9(/,) cp(ys)- ••?(/« X>'i^y2" •^7"-

Cesl la première valeur probable.

Si l'on connaît à la fois l'habileté de l'observateur et les résultats, on a une deuxième valeur probable très différente

Dans le premier cas, on avait affaire à n variables indépendantes7„/î,..-, /«d'où une intégrale multiple d'ordre/i; dans le second, on n'a plus qu'une seule variable z»

Supposons qu'au lieu d'appliquer la règle de la moyenne et d'adopter, par conséquent, pour z la valeur

j?, 4- ara -h .. . '. -f- ^n n

on ait adopté une autre valeur

n Terreur commise eût été égale à

Nous aurions trouvé alors pour la valeur probable du

CALCUL DK l'erreur A CRAINDRE. 201

carré de celle erreur sans connaître les résultats

X cp(ri)9(r2)-..?(r«)^/i^/2---«Çr«»

et'pour la valeur probable de ce même carré connaissant les résultats

?(yi)?(j'2)..-9(y/t)^(^)<^-

Alors A atteint son minimum pour £ = o, pourvu que la fonction 9 soit paire.

Au contraire, pour que B atteigne son minimum pour e =0, il faut que la loi de Gauss soit vraie.

(iaussi s'était placé au premier point de vue dans l'analyse •que nous avons reproduite au Chapitre XI, paragraphes 129 et suivants, et il avait ainsi démontré que la règle de la moyenne est toujours légitime.

Il s'était placé au second point de vue dans l'analyse que nous avons reproduite au Chapitre X, paragraphes 108 et suivants, et il avait démontré que cette règle n'est légitime que si la loi de Gauss est vraie.

186. Revenons ad problème qui nous occupe cheichons à déterminer les X. il s'asrit de rendre minimum

fx et [jJ sont des ^fonctions linéaires des y; donc c'est un polynôme homogène et du deuxième degré, par rapport • ^ yu yti ' ' -1 ynj q^'il faut rendre minimum.

Par hypothèse, les poids sont les mêmes.

Soit m} la valeur probable de y\; m' sera aussi la valeur probable de/*, et celle dey?.

Si nous avions à faire trois observations, nous n'aurions pas le droit de supposer à l'avance y ^ plus grand que/2 ou que y,.

La valeur probable du produit jj/j sera nulle : elle sera le produit de la valeur probable de j, par la valeur probable de y„ et la valeur probable dey, est nulle puisqu'il n'y a pas d'erreurs systématiques. Cela est vrai, parce qu'on ne connaît pas les résultats observés, et ne le serait plus si on les connaissait.

Comment trouver la valeur probable du polynôme? On remplace tous les termes carrés par m*, tous les doubles produits par o.

Ce polynôme, si l'on substitue à fx, et /x' leur expression en fonction des y, devient

(/i->iAiy,-X;Bo,)»4-...;

le coefficient de y\ est (X,AiH- X',B, — i)-; celui de y\ est (X,A,-4- AjBi)*; celui dey* est (XiAa-hX'.Bs)*.

Donc (yi — Xifji — X'j fx')* est égal à

m*[(A,X,-+-B,>.; — i)*-h(A2X,-hB2X;)*-+-(A3X,+B3X;)»]. Voilà ce qu'il faut rendre minimum.

187. Appelons /n*P le second membre : il représente la valeur probable du carré de l'erreur, (y, — y, )'» qui subsiste après la correction.

Égalons à zéro les deux dérivées

CALCUL DE l'erreur A CRAINDRE. 263

c'est-à-dire

A,(A,X,-hB,>i; — i)4-A2(A2A,4-B2V,)-i-A.3(A,/.,4-B3>/,) = o, et, par symétrie,

B,(A,X,-f-B,Â;-i)-f-B,(A2X,4-B27',) + B,(A3À,H-B:,X',)=o. Ce système peul s'écrire

/,:^A^ +>/,2;ab = a„

/,2AB4->',:t;B^ =B,.

Il est linéaire par rapport à /j et aJ. J'y ajoute l'équation qui donne y\

En éliminant li et 1[

2A2 lAU A,

lAB 2B' B, =0.

De là on tire /',, et l'on pourrait raisonner de même pour avoir/; et./;.

188. Telles sont les corrections à faire pour rendre minimum la valeur probable du carré de l'erreur après la correction.

Elles sont conformes à la méthode des moindres carrés.

"En effet, /J,/;, /a vérifient :

A,/;-+- Aa/'î-h As/a^/x,

B,/;-hB2/;-f-B3/; = fz'.

Pour calculer les /', il faut rendre minimum la somme des /J^ Donc

D'autre part,

La première de ces deux équations doit être une conséquence des deux autres; donc

d'où

et, par symétrie,

elA^-he'lAB — ix,

En éiiminant £ et s' entre ces trois équations.

lA' 2AB ix

lAB 2B» ix'

Al B, y,

Le déterminant est le même que le précédent.

Ainsi le résultat est le même, qu'on applique la méthode des moindres carrés, ou bien qu'on fasse la correction de façon à rendre minimum la valeur probable du carré de l'erreur après correction.

189. On peut se demander maintenant queile est cette valeur minimum : c'est celle de m^V. La valeur de P peut être mise sous une forme plus simple. Rendons-la homogène,

et appliquons le théorème des fonctions homogènes; on a ,, ./P, ^P,, dP,„

dit

dl'i

CALCUL BE l'erreur A CRAINDRE. 265

^ dP dP , , ,,

dT M *°"' "" ' ^i — 'i " reste

Le produit par m^ est la valeur probable du carré de l'erreur qui subsiste après la correction.

Quand les observations deviennent de plus en plus nombreuses, la valeur probable du carré de l'erreur va en diminuant.

190. Introduisons une quatrième quantité et une troisième équation de condition

Tout à l'heure nous avions à rendre minimum

(0 {f,-l,ix-l\iJ.')^;

maintenant c'€st

Il y a une indéterminée de plus, 1] ; le minimum de l'expression (2) est évidemment plus petit que celui de l'expression (i); car il suffit de faire X'; = o dans l'expression (2) pour retomber sur l'expression (i).