Le postulat doit être vrai en général; mais il est

certain qu'il comporte des cas d'exception. Si les équations

différentielles

dx dy dz ,

- = ^ = - = di

comportent une intégrale

F(.r, y, z)=zconsi.y où F est une fonction uniforme, l'intégrale

Vv—fpdx,

étendue au volume limité par deux surfaces

F(a?,y, i;) = «, ¥{œ, y, z)=:b sera une constante; si alors nous envisageons deux sem-

bljables volumes r et ç', définis respectivement par les inégalités

et que nous appelions P et P' les probabilités correspon-

dantes, le rapport -p- sera une constante indépendante du

temps, et, comme d'ailleurs la valeur initiale de celle constante est arbitraire, il ne pourra tendre vers i.

Voici comment, dans ce cas, doit être modifié notre postulat. Considérons le volume limité par les deux surfaces infiniment voisines

a<¥ <a-\- da.

Soient Y {a) da ce volume, P(a) da l'intégrale / pdx correspondante.

Considérons maintenant deux volumes quelconques v^ et v" . Soient P' et P" les deux probabilités correspondantes. Soient V'( a )û?<2 le volume commun à V(a)ûfa et à v\ et de même ^(a) û?a le volume commun à,V(fl) <faet t^"; on aura pour7rr:oo

Tv {a)da

limp

)da

En d'autres termes, dans chacune des couches infiniment minces, définies par les inégalités a < F < « -h da^ la probabilité %QV2i/inalemenl répartie d'une manière uniforme, mais la « densité » de cette probabilité finale variera d'une de ces couches à l'autre.

C'est précisément celte circonstance qui se présente dans le cas des équations de Hainilton qui admettent l'équation des forces vives F = const.

QUESTIONS DIVERSES. SlS

Mais ce n'est pas là la seule exception possible. Supposons que les équations n'admettent pas l'intégrale générale F^rconst., mais qu'elles admettent l'intégrale particulière F = G, c'est-à-dire que l'équation F = o entraîne la suivante,

^^F ^dF ^d¥ cto) dy dz

Alors la surface fermée F = o divisera le vase en deux régions; dans chacune de ces régions, la probabilité sera finalement répartie d'une manière uniforme, mais la densité de cette probabilité finale ne sera pas la même dans les deux régions.

240. Autre cas d'exception. Pour bien le faire comprendre, je prends d'abord un exemple particulier. Je suppose d'abord qu'il y ait une intégrale F = const. et que la surface F = o soit un tore. Si le postulat était vrai, même avec la modification envisagée au numéro précédent, la probabilité finale devrait être uniformément répartie dans la couche infiniment mince comprise entre les deux surfaces F = o et F ==: s, où £ est très petit. Pour représenter la position d'un point sur le tore F=o, nous nous servirons de deux angles; l'un cp sera ïa longitude, l'autre co sera l'angle compté sur la section méridienne et qu'on pourrait appeler la latitude s'il ne variait de o° à Sôo", au lieu de varier de — 90° à -f- 90*^. Soient alors

les équations différentielles du mouvement, et supposons d'abord que ^ et £2 soient des constantes. Nous pouvons supposer que la surface F = e a été choisie de telle sorte

que ces équations soient compalibles avec la condition d'incompressibilité (cela revient à supposer que la distance fiormale des deux surfaces F=:o et F=r£ est en raison inverse de la distance à l'axe de révolution). Nous aurons alors

9o et Wo étant les valeurs initiales de o et de w; dans ces conditions la valeur probable de l'expression

sin ( m (p 4- n cii> H- A ), oh m et n sont des entiers et h une constante, sera

/?o sin(w(p H- nco -\- h)d(SfQd(iiQy

oùpo est une fonction donnée et d'ailleurs arbitraire de (p© et de wo. Cela fait

Asin(w^-f- /ii2)/H-Bcos(w^-i- «ià)f, où

11 est manifeste que cette expression oscillera sans tendre vers aucune limite déterminée. Le premier postulat n'est doncpas vrai dans ce cas. Il n'en est pas de même du deuxième

postulat qui se rapporte à l'intégrale / "Pdt. Nous avons

en effet à envisager l'expression

-/ dt\ / /?oSirt(/n9 H- /ito-+- A)û^9o^Wo

qui est égale à

— / s\n{m^ -h n^)tdt-^ 7^^ / cos { m (S> -{- nQ)t dt.

Celte expression tead vers zéro quand T grandit indéfiniment, sauf dans le cas où m^ -+- n^ est nul. Or m<t-h nÇl peut s'annuler d'abord si ^ et Î2 étant com-

mensurabFes entre eux, le rapport — est égal a — ^- Dans

ce cas, la trajectoire décrite par une molécule liquide est une courbe fermée, ayant pour équation

F — o, Fi=const.;

nous n'avons donc plus seulement une intégrale uniforme, mais nous en avons deux, et nous retombons sur le cas d'exception du numéro précédent.

Le coefficient m^ -\- n^ peut encore s'annuler si ^ et 12 sont incommensurables et si m et « sont nuls. Soit alors 0 une fonction périodique quelconque de co et de cp; envisageons sa valeur probable

n(^)= / pQ&d(ÙQd(po et Tintégrale

Nous pouvons développer 0 en série de Fourier. A chacun des termes de cette série correspondra un terme de J. D'après ce qui précède, tous ces termes de J tendront vers zéro pour T très grand, sauf le terme où m = n = o, c'està-dire celui qui correspond à la valeur moyenne de 0, au terme constant de la série de Fourier.

Un raisonnement tout pareil à celui du paragraphe 239

nous montrerait que cela signifie que la probabilité représentée par l'intégrale 1 4^dt est uniformément répartie.

241. 11 est essentiel de se rendre compte des véritables raisons de la nouvelle exception que nous venons de signaler. Considérons une des molécules de notre liquide qui occupera au temps o le point ^o' JKo» ^o et au temps t le point £c, y y z; considérons ensuite les molécules qui au temps o remplissent une spbère de rayon £ ayant pour centre le point ^o» 7o> ^o»* au temps t elles rempliront un volume très petit; ce volume, si £ est infiniment petit, sera, assimilable à un ellipsoïde ayant pour centre le point ^, y, z.

Comment se comportera cet ellipsoïde quand on fera varier tf En général, ses axes deviendront de plus en plus inégaux, de telle sorte que le rapport de ces axes tende vers l'infini. Cela < st essentiel pour que le postulat soit vrai; dans le cas d'exception signalé, il n'en est pas ainsi; si nous appelons ^©^ /o> ^o les coordonnées initiales d'une molécule, et que nous décrivions, du point jco^ /o^ ^o comme centre, une sphère de rayon £, cette sphère découpera sur la surface du tore une aire qu'on pourra assimiler à un cercle de rayon très petit. jQuand ^croîtra, cette aire va se déplacer sur la surface du tore en restant assimilable à une petite ellipse; mais l'aplatissement de cette ellipse, au lieu de croître sans limite, va osciller entre certaines limites, ainsi qu'il est aisé de s'en rendre compte. Si nous considérions pour up instant co et cp comme les coordonnées d'un point dans un plan, nous aurions une représentation de la surface de notre tore sur un plan; notre petite ellipse serait alors représentée sur le plan par une autre petite ellipse gui

resterait toujours égale à elle-même ; si donc nous revenons à l'ellipse infiniment petite tracée sur le tore, le rapport de ses axes ne dépendra que du rayon du parallèle du tore sur lequel se trouve son centre, en d'autres termes ce sera une fonction linéaire de cos w; ce sera donc une fonction périodique du temps.

242. Voyons maintenant un exemple où cette exception ne se présente pas, mais en nous bornant toujours à un cas particulier. Reprenons notre tore F = o, et nos équations

mais sans que ^ et£2 soient des constantes; nous pourrons toujours disposer de la surface F = s de façon à satisfaire à la condition d'incompressibilité. Supposons

^ = aM, ilzzz^U.

où a et j3 sont deux constantes dont le rapport est incommensurable et M une fonction périodique de 9 et de co qqi ne peut ni s'annuler, ni devenir infinie.

Nous pourrons introduire une fonction auxiliaire t telle que

d'où

d(û d(i) „ dz __

r— est une fonction de t, et de plus une fonction périodique M

de &>o et de tpo- Considérée comme fonction de t, elle est développabl€ en série irigonomélrique de la forme

IXcosiyt -{- h)

OÙ les coefficients ne sont pas entiers; c'est ce que M. Esclangon appelle une fonction quasi -périodique; on tirera de là

irr:AoT-|-/(T, w», (po),

/étant une fonction quasi-périodique, et ensuite (dans certains cas)

/étant une fonction quasi-périodique de t. Si A'o dépendait de coo et de 90, l'analyse pourrait se faire sans difflcuité; mais il n'en est rien. Aq qui est le terme indépendant de ^

c'est-à-dire de (,) et de 9 dans le développement de rj,

ne dépend ni de &>o, ni de cp©.

Considérons la différence

. /i(^ Wo-l-£, cpo+-^)— /i:(^ Wo,cpo), •

où e et Y) sont très petits; c'est encore une fonction quasipériodique; si celte fonction reste limitée quand t varie de — 00 à -f- 00, nous retrouverons des résultats analogues' à ceux du numéro précédent, et le postulait ne sera pas vrai. Si au contraire cette fonction quasi-périodique peut croître au delà de toute limite (et j'ai montré dans le Bulletin astronomique, Toiîie I, qu'il y a des fonctions quâsi-périodiques pour lesquelles cela arrive) le postulat est probablement vrai, mais nous rencontrerions pour l'établir toutes les difficultés qui s'attachent à la théorie des fonctions quasi-périodiques.

Il en serait encore de même si nous supposions, d'une façon plus générale.

« et (3 étant des constantes, e une constante très petite, O et ^ des fonctions périodiques de cp et de (o. On pourrait alors intégrer par approximations successives en développant suivant les puissances de e, et l'on trouverait

a ei b étant des constantes, / et /i des fonctions périodiques par rapport à wo et à 90 et quasi-périodiques par rapport à t. Seulement, ici encore, a et b ne dépendraient pas de coo et 90, de sorte que nous retrouverions les mêmes difficultés.

2^3. Les difficultés que nous avons rencontrées dans ce cas si simple montrent celles qui nous attendraient dans le cas générai. Disons quelques mots seulement d'un mode de raisonnement par à peu près auquel on pourrait être tenté d'avoir recours. Divisons le volume du vase en un nombre très grand n de volumes égaux ; soient ^19^8» •••><'« ces volumes; soit /?, la probabilité pour qu'une molécule se trouve dans le volume t^/; soient

n variables auxiliaires et considérons l'expression

Soit-^.* la probabilité pour que la molécule se trouve à l'instant t-hr dans le volume i^ en admettant qu'on sache qu'elle '^e trouvait à l'instant t dans le volume. p^. Si. alors la loi de probabilité, à l'instant ^, est représentée par l'expression P, elle sera représentée, à l'instant ^ -f- t, par l'expression PS, qui représente ce que devient P quand on

lui fait subir la transformation linéaire S, c'est-à-dire quand on y change a^k en

A l'instant t -h 2z elle sera représentée par PS% et à l'instant t -h hz par PS^. 11 serait aisé de démontrer que, quand h croît indéfiniment, la loi de probabilité représentée par PS'* tend vers une loi de probabilité uniforme.

Mais ce raisonnement prête à une objection grave. II n'est pas démontré que la probabilité pour qu'une molécule soit à l'instant ^-4-2rdans le volume i^i en admettant qu'on sache qu'elle était à l'instant t-^x dans le volume v^ reste la même si l'on ne sait pas du tout où elle était à l'instant t, ou bien si l'on sait qu'elle était à cet instant dans le volume i^i par exemple.

J'ai cru devoir le citer néanmoins parce que c'est sur ce type que sont construits beaucoup de raisonnements dans la théorie cinétique des gaz, et que dans certains cas ils peuvent devenir plausibles; ainsi, quand on envisage la probabilité pour qu'une molécule gazeuse subisse une déviation donnée par un choc avec une autre molécule, cette probabilité ne sera guère affectée par les chocs antérieurs subis par la même molécule.

Une grande partie des difficultés disparaîtrait si l'on supposait que les fonctions X, Y, Z ne sont pas entièrement données, mais qu'elles dépendent d'une fonction de t (ou même de plusieurs fonctions) dont la valeur est inconnue, et où l'on ne connaîtrait seulement que la probabilité pour que cette fonction ait une valeur comprise entre des limites, données, a et a -h da^ par exemple. On pourrait alors raisonner à peu près comme nous l'avons fait à propos du battage des cartes.

Prenons un exemple dans la théorie cinétique des gaz. Supposons des molécules gazeuses enfermées dans un vase en forme de parallélépipède rectangle, pouvant choquer les parois, mais ne pouvant se choquer entre elles. Si elles ont toutes la même vitesse, elles ne seront pas uniformément réparties dans le vase au bout d'un temps quelconque, si elles ne le sont pas au temps ^ = o. Elles le seront, au contraire, si leur vitesse varie suivant une loi de probabilité quelconque, suivant la loi de Maxwell, par exemple, et cela quelle que soit cette loi.