OOOOO
et iz(3 n'aurait plus été très petit. Et cependant l'inslincl, qui nous pousse à croire que la troisième décimale doit être uniformément répartie, est aussi puissant en ce qui concerne la cinquième.
En ce qui concerne l'évaluation de J, il ne peut y avoir de difficulté même s^ap n'estpas très petit; on n'aurait donc à s'occuper que de la différence J — S. D'autre part, la fonction périodique F que nous avions définie au début de cette étude et qui s'introduit quand on veut étudier la répartition des décimales dans une table de logarithmes, cette fonction à laquelle nous avions substitué un sinus pour faciliter Iç calcul, était égale à zb i suivant, qu'un certain chiffre était paif ou impair. C'était donc une fonction discontinuejein(f\}sne pouvons nous appuyer, dans le calcul de J -— S sur ce fait que ses dérivées sont limitées.
On pourrait, il est vrai, développer cette fonction périodique F en série de Fourier, et l'on serait ramené à dés sinus auxquels on pourrait chercher à appliquer ce qui précède; mais pour les termes d'ordre élevé de cette série, le nombre (X sérail très grand et le produit a {3 ne serait pas très petit; on retomberait donc sur la première difficulté.
23G. Force est donc de recourir à d'autres considérations. Soit F(jr)une fonction dont les dérivées sont limitées. Formons une table où nous donnerons à a: toutes les valeurs multiples de Est-il possible que dans cette table la cin-
lOOOO, II
quième décimale soit toujours égale à o?0n auraitalors
\ 10000/ lOOOO
QUESTIONS DIVERSES. 3l9
OÙ V et /i sont des entiers et e< • Nous nous appuie-
JOOOOO ^'^
rons sur fa formulé connue
F(a? 4- 2 A) -h F(jp) — 2F(^ -i-h)=z h^F'Ça^ -h^Ok) (o<0<i).
Donnons k x une valeur multiple de et faisons
lOOOO
lOOOO
Soient n, et £,, Wj et cg, /î3 et £3 les valeurs de « et g correspondant à ;r, a; -h h, x-k-ih; il viendra
lOOOO
Comme s est plus petit que nous pourrons poser
lOOOOO '
n^^n^ — 2«2 — N, d'où
Si F" qui est limité n'est pas de Tordre de lOooo, il faut que N = o; ou
/l,H-«3— 2/lî,
c'est-à-dire que les entiers /i, ou encore les nombres qui figurent dans notre table, soient représentés par un polynôme du i*"* degré; ou encore que les différences secondes de notre table soient toutes nulles. Cela n'est évidemment qu'un cas très particulier, et, pour la plupart des fonctions, on pourra affirmer que cela n'a pas lieu.
On voit par là, sans que j'insiste davantage, sur quelles bases on pourrait appuyer une théorie de la probabilité de la répartition des décimales dans une table numérique.
237. Mélange des liquides. — Je ne dirai que quelques mots d'une autre question dont l'importance est très grande, mais que je ne suis pas en mesure de résoudre. Considérons un liquide enfermé dans un vase qu'il remplit entièrement. Les molécules de ce liquide sont en mouvement permanent; les lois de ce mouvement sont connues, et elles s'expriment par des équations différentielles que je considère comine données. Soient x, y, z les coordonnées d'une molécule; on aura pour les composantes de sa vitesse
dx ^K __ V ^^ ^7
'dt^^' 1i-^' di-^'
Si le mouvement est permanent, X, Y, Z sont des fonctions des coordonnées ^, /, z indépendantes du temps t, et je suppose que ces fonctions soient données. Le liquide étant incompressible, on aura la relation
d% dY^ dZ__ dx dy dz '
Si l'équation de la paroi du vase est
on aura en t^us les points de cette paroi la relation
dx dy dz
qui exprime que la composante normale de la vitesse est nulle. -
Cela posé, j'imagine que certaines molécules du liquide se distinguent des autres par quelque qualité apparente, qu'elles soient de couleur rose par exemple, tandis que les autres sont incolores; mais qu'elles obéissent d'ailleurs à la même loi de mouvement.
Au temps ^== G, elles sont distribuées d'une manière quelconque dans le vase; l'expérience courante nous apprend qu'au bout d'un certain temps elles seront entièrement mélangées avec les autres; elles seront uniformément répandues dans le vase.
Considérons un volume v intérieur au vase; quelle est, à un instant quelconque, la quantité de liquide rose qui y est contenue, ou, si Ton aime mieux, quelle est la probabilité P pour qu'une molécule prise au hasard dans cette région soit rose ? Si la répartition est uniforme, cette probabilité sera une constante, quel que soit le volume i^ choisi à l'intérieur du vase.
Si l'on envisage deux volumes i^i et Vt pour lesquels cette probabilité soit P, et P,, et qu'on appelle P la probabilité relative au volume total v^ -H i>2, on aura évidemment
P((;,+ (;2) — Pi^i-f-Pst'î,
et nous pourrons écrire, pour un volume quelconque, Pc— CpdT,
où l'intégration est étendue à tous les éléments dr du volume i> et où p est la probabilité relative au volume dz.
Cette probabilité /? est une fonction de ^, /, z, t définie par l'équation
dt dx dy dz
322 CHAPITRE XVl.
Considérons alors deux volumes quelconques i^ et y', et les probabilités correspondantes P et P'; peut-on admettre que, quelle que soit la distribution initiale du liquide, c'est-
à-dire la valeur de p pour ^ — o, le rapport — tendra vers r
quand t croîtra indéfiniment, et cela d'autant plus vite que les deux volumes i> et v' seront plus grands et d'une forme plussimple?
Si nous ne pouvons admettre cela, pouvons-nous admettre au moins que le rapport
V dt
T V'dt
tend vers i quand T croît indéfiniment?
238. Telle est la question qui se pose et qui n'est pas encore résolue ; je voudrais expliquer en quelques mots ce qui en fait l'importance. Imaginons un système mécanique de situation définie par n coordonnées çi, g^, •,'/«; son mouvement satisfera aux équations de Hamilton,
dqi dF dpi dF
dt dpi dt dqi
T est l'énergie cinétique, U l'énergie potentielle,
F nz T -h U l'énergie totale, et l'on a pi =:: -— . Considérons
7i>^2» •• -T ^/j; /'n /^2) •••» /^rt comme les coordonnées d'un point dans l'espace à 2 w dimensions. Écrivons les équations <le Hamilton sous la forme
dt ~~^'~ dpi' dt ' dqi'
Ces équations seront de même forme que celles du mouvement de notre liquide, car elles satisferont à la condition
dqt ^ dpi
analogue à la condition d'incompressibilité. Nous avons donc, pour ainsi dire, à étudier le mouvement d'un liquide dans un vasfe à 2 n dimensions. Quelle que soit la probabilité de telle ou telle situation du système à l'instant zéro, n'allons-nous pas avoir une probabilité uniforme pour cette situation à l'insiant^, pourvu que t soit assez grand?
C'est là ce qu'on postule dans la théorie cinélique des gaz, et en particulier quand on veut établir le théorème de Boltzmann-^Maxv^^ell. Il y aurait donc un grand intérêt à justifier ce postulat.
