II) / H,H-H,-^...-4-H. \^^ I ^ 2 ^

La valeur probable de H? est

r"e-HH«rfH = 2;

celle de H/ est l'unité, et la somme (n)) en ayant égard au nombre de termes compris dans chaque somme I, est

Telle est la valeur probable du carré de Terreur commise en égalant la moyenne des valeurs de H à l'unité^

187. Nous avons trouvé la valeur de H pour laquelle la probabilité de voir la balle se placer à l'intérieur de l'ellipse correspondante est yq.

Soient N le nombre des balles qui frapperont dans rintérieur de l'ellipse, n celui des balles tirées, la différence

sera petite si n est grand. Cherchons la valeur probable du carré

0» (N-fJ;

on a

La valeur probable de N est — ; par conséquent, celle de est — 7 et l'expression (12) peut être remplacée par

— est donné, puisque. /i est le nombre des balles qui ont été

tirées ; nous devons chercher seulement la valeur probable de ?!*• N est le nombre de balles placées dans l'intérieur de l'ellipse. Le problème est donc celui-ci :

Un événement a pour probabilité — ; quelle est la valeur probable du carré du nombre de fois qu'il se présentera sur n épreuves.

Soient p la probabilité de l'événement (p est ici égal à ^) et? la probabilité de l'événement contraire.

Le développement

donne, par ses différents termes, les probabilités des combinai' sons qui'peuvent se produire.

CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. ^45

Si donc on représente cette somme par

la valeur probable du carré du nombre m d'arrivées de l'événement dont la probabilité est/> est

on a En prenant la dérivée par rapport à /? et multipliant par/>,

prenant de nouveau la dérivée par rapport k p et multipliant par/?,

et, puisque /> -f- y = i , p est -jij, y est ~ 5 la valeur probable de N^ est donc

lOO lOO

et, par conséquent, celle de N^ est

lOO

La différence N doit très probablement augmenter indéfiniment, comme le font toujours les valeurs des différences absolues entre les grandeurs dont les valeurs probables sont égales; mais la différence des valeurs relatives

\n lo/

tendra vers zéro , car la valeur probable de

est

\n lo n* \ioo/ loon

Le rapport du nombre N des balles qui se placeront dans l'intérieur de la petite ellipse, au nombre total n des balles tirées, tend vers j^ quand n augmente, puisque la valeur probable du carré

de la différence avec ^ est - ^

oon