CHAPITRE X
Erroram repilarlnm conilderatlo proprie ab Instltnto
nosiro excladitar.
Gaoss.
188. Abandon nécessaire de la loi de Gauss. — 189. Conditions imposées à la loi inconnue qui devrait la remplacer. — 190. Détermination expérimentale de la partie constante de l'erreur. — Évaluation de l'erreur à craindre. — 191. La moyenne des mesures converge vers la valeur véritable augmentée de l'erreur constante. — 192. Valeur probable de la constante caractéristique désignée par m^. L'évaluation de l'erreur à craindre dépend d'une constante nouvelle. — 193. La constante m' diminue quand on retranche l'erreur constante. — 194. Importance de la valeur de m'; insuffisance de la formule la plus simple. Correction proposée sans preuve bien satisfaisante. — 195. Observations de mérite inégal. — Poids d'une observation. ~ 196. Objection de Poisson à la théorie des moyennes. — Cause de l'exception.
188. Ni le succès près des observateurs de sa loi de probabilité des erreurs, ni la simplicité des conséquences, ni leur accord constant avec les faits n'ont décidé son illustre inventeui: à y voir une mérité démontrée. Nous avons indiqué les graves objections que laisse subsister (138) la démonstration. Jamais Gauss ne les a proposées, mais l'abandon de sa première théorie permet de croire qu'elles s'étaient présentées à son esprit.
Sans renoncer aux méthodes déduites de cette théorie et devenues indispensables, Gauss a voulu les établir sur des principes plus certains.
La recherche d'une loi rigoureuse pour représenter la probabi-
lité des erreurs ne semble laisser aucun espoir de succès : les plas illustres y ont échoué et les données du problème ne semblent donner prise à aucune recherche théorique.
Gauss, sans chercher cette loi inaccessible, variable sans aucun doute d'un cas à l'autre, a su, tout en laissant la fonction indéterminée, résoudre rigoureusement le problème.
La fonction inconnue, d'après l'ingénieuse manière dont il pose la question y figure seulement dans des intégrales définies dont les valeurs numériques deviennent les constantes caractéristiques d'un système d'observations.
189. Supposons qu'en mesurant une grandeur la probabilité d'une erreur comprise entre z et z-^dz soit représentée par ^{z)dz, La fonction inconnue ^{z) doit satisfaire à quelques conditions qu'il faut dire :
On a rigoureusement
(i) j f^(z)dz =
n faut bien, en effet, que l'erreur ait une valeur, et la somme des probabilités pour tous les cas possibles, entre — »et-l-*j représentant la certitude, doit être égale à l'unité.
Si les mesures n'ont pas d'erreur systématique et que l'instrument rende les erreurs positives aussi probables, exactement, que les erreurs négatives, on aura
C'est ce que nous avons supposé jusqu'ici, admettant qu'avant l'étude d'un cas particulier on ait déterminé l'erreur constante de l'instrument, pour la faire disparaître ou pour en corriger les résultats.
Ne faisons pas d'abord cette hypothèse, et posons
/ 2 cp(>3)c^3 = a;
a sera une constante que l'on peut appeler ï erreur probabk*
Gauss la nomme la partie constante de V erreur. Quand on l'aura déterminée pour un instrument donné et un observateur désigné, on la retranchera de chaque mesure; l'erreur, qui était z^ deviendra z — a. En posant
la probabilité de Terreur y sera toujours tf(^z)dz\ si on la nomme f{y) ^y^ o» aura
et, à cause des conditions (i) et (2),
/ yAy) dy = o.
La valeur probable des erreurs corrigées est donc égale à zéro et, ce qui revient au même, leur partie constante est nulle.
Nous parlons de la différence entre la valeur exacte et la valeur observée, qui peut être positive ou négative, et non de Terreur absolue, toujours positive, dont la valeur probable, évidemment, ne saurait être nulle.
190. La détermination de la constante a sera facile, en général : on mesurera un grand nombre de fois une grandeur bien connue.
Soient 61,^2, . . ., e/i les erreurs successivement commises, on prendra
La valeur probable de Terreur doit en effet, d'après le théorème de Bernoulli, différer peu de la moyenne des erreurs.
On peut aller plus loin et donner une appréciation de Terreur à craindre, en acceptant Téquatlon (3).
Posons
(4) / z^r^{z)dz = m'^.
a5o CALCUL DES PROBABILITÉS.
La constante m^ est déterminée pour chaque système d*expé* rîence. On en trouvera la valeur approchée, expérimentalement comme on a trouvé celle de a.
Cherchons la valeur probable de
elle donnera, évidemment, une indication de Terreur à craindre quand on accepte comme nulle la grandeur positive qu^elle représente.
Cette expression (5) peut s'écrire
Al» /i» n " '
La valeur probable de e\ est, quel que soit i,
celle de e/,
et, par conséquent, celle de eiei' est a-.
Ces valeurs sont les mêmes pour toutes les valeurs de «, car l'appréciation de l'erreur à craindre est supposée faite à l'avance: elle est relative aux instruments dont on dispose, aux méthodes employées et à Thabileté connue de Tobservateur. Sa valeur n'a rien de fortuit.
L'expression (5) devient, en ayant égard au nombre des termes de chaque somme,
/?î* nin — i)a» 2wa'
c'esl-à-dire
n La valeur probable du carré de l'erreur commise en prenant
pour a la moyenne des erreurs tend donc vers zéro lorsque n augmente.
191. La moyenne d'un nombre de mesures de plus en plus grand convergera vers la valeur véritable augmentée de Terreur constante a.
On aura en effet, en nommant oti, x^i . . ., ^/i les évaluations successives d'une même grandeur -3 et ei, ea, . . -, ^/i les erreurs correspondan tes ,
iTi -4- aTj -+- . . . H- a'/t 6|-f- «jH-. . .-H e/,
et, puisque la moyenne des erreurs diffère peu de a quand n est grand, la moyenne des valeurs de x différera peu de ;; + a; et si a a été donné par Tétude préalable de Finstrumcnt et de la methode, en le retranchant de la moyenne, on aura une évaluation de la grandeur mesurée d'autant plus certaine que les mesures seront plus nombreuses.
L'erreur commise sera exactement
la valeur probable de son carré est inversement (190) proportionnelle à /i : on peut donc la regarder elle-même comme de
l'ordre -p:-
La confiance méritée par la moyenne d'une série de mesures s'accroît comme la racine carrée de leur nombre.
192. Pour obtenir, dans un système donné d'observations, la valeur probable de la constante m^, on fera une série de mesures ^if ^2) •••? ^n d'une grandeur bien connue à l'avance. €\y e%^ . . ., €n étant les erreurs successivement commises , on pourra
a52 CALCUL DES PROBABILITÉS.
prendre
eî-+-gî-4-...-4-e» ^^, n
L'erreur à craindre en adoptant cette équation sera d'autant moindre que le nombre n des mesures sera plus grand. Il faut, pour l'évaluer, chercher la valeur probable de
Posons
h sera une nouvelle constante liée à la perfection du système d'observation et, comme m, d'autant plus petite que le système de mesures sera meilleur.
A* est la valeur probable de la quatrième puissance de l'erreur commise dans une observation.
On a
(7) ( — m*) = —Se* H ^ 2e/-+-m*.
La valeur probable de e\ est A*, quel que soit i\ celle de e\ est m? et celle de e\e],^ par conséquent, m^. La valeur probable de (7) est, par conséquent,
c'est-à-dire
elle tend vers zéro lorsque n augmente.
193. Lorsque l'on étudie un instrument, si Ton ne peut faire disparaître les erreurs constantes, le premier soin doît être de déterminer l'erreur probable «; elle sera retranchée de chaque résultat donné par l'instrument, la différence devenant l'évaluation acceptée.
CHAP. X. — LA THÉORIE DES MOYElfJŒS. 253
La valeur de m^, relative aux mesures ainsi prises, est toujours )lus petite qu^avant la correction; plus petite même que si, au ieu de retrancher a, on faisait une autre correction constante, juelle qu'elle fût.
Lorsque z est remplacé par (s — a), la valeur probable du carré le l'erreur devient
{z — a)^^{z)dz= I z^(^(z)dz — ^a j zf^{z)dz-ha* 1 ff(z)dz
ît, à cause des équations
/ ^(z)dz = i^ j z(^{z)dz = ay
