L-t-L'-Hl

^^t-à-dire la moyenne arithmétique entre les valeurs observées; *~^ prenant pour unité le poids d'une observation isolée, le poids ^ la moyenne sera vs.

^26. Quoique les formules proposées pour exprimer la valeur

*^^Cibable du carré de l'erreur à craindre, à quelque point de vue

^^^on se place pour les obtenir, méritent peu de confiance, il

^st pas inutile de les défendre contre un reproche injustement

fesse.

Bienaymé, auteur de l'objection, a proposé « une modification l^^ofonde » ; il parle de la « défectuosité du calcul ordinaire ». Le ^^faut qu'il signale lui paraît si simple, <( qu'aux premiers mots ^^ ut le monde en reconnaîtra l'existence ». — « L'erreur consiste, ^ît-il, à calculer la probabilité d'une erreur commise comme si ^lle était la seule. Un des premiers principes de la théorie des t^^obabilités est que, quand plusieurs événements arrivent simul- ^-^nément, la probabilité de leur concours est le produit des pro-

habilités de chacun, de sorte que la probabilité de ce concours est inférieure à la probabilité de chaque événement pris à part ; elle est d^autant plus petite qu'il y a plus d'événements. »

« Évidemment, ajoute Bienajmé, il en est de même des erreurs de plusieurs inconnues. La probabilité que ces erreurs resteront toutes à la fois dans certaines limites ne peut être que le produit des probabilités séparées pour que chacune ne s'écarte pas de ses limites propres et, par conséquent, cette probabilité du concours des erreurs de grandeur limitée doit être notablement inférieure à la probabilité des limites de chaque erreur considérée isolément, quelles que puissent être les autres. »

L'assertion est évidente; mais le tort est d'accuser les auteurs de la théorie et des applications qu'on en a faites de l'avoir ignorée ou oubliée.

Quand on a calculé une inconnue, il importe de savoir quelle confiance mérite le résultat. Les formules de Gauss répondent plus ou moins rigoureusement à cette question. Si une seconde inconnue est calculée, le même problème sera résolu pour elle. Si l'on connaît les probabilités pour que les erreurs commises sur deux angles soient plus petites que 0*^,10, on pourra, les deux résultats n'étant pas contestés, chercher la probabilité pour que les deux erreurs soient toutes deux plus petites que 0^,10; l'intérêt de cet autre problème sera plus ou moins grand, mais c'est une étrange prétention d'accuser d'erreur ceux qui n'ont pas désiré le résoudre.

Prenons un exemple.

On veut connaître un angle A. Cet angle fait partie d'un triangle ABC. On mesure les trois angles A, B, C et l'on prend pour A la valeur

Si m^ est la valeur probable du carré de Terreur à craindre dans la mesure d'un angle, le carré de l'erreur à craindre en adoptant l'expression (38) est (199) f /n^.

L'objection consiste à dire : Sur les deux angles B et C vous avez des erreurs à craindre; elles doivent entrer en compte; elles ont leur part nécessaire dans l'évaluation du mérite de la solution. Cela est vrai si le problème est de résoudre le triangle-, mais si le calcul est entrepris pour déterminer l'angle A, on n'aura nul souci des deux autres.

Le triangle a trois côtés; on peut y inscrire un cercle, ou le circonscrire, déterminer la surface, calculer les bissectrices, etc., et résoudre cent problèmes différents pour chacun desquels, puisque le triangle est imparfaitement connu, uue erreur sera à craindre. Cherchera-t-on la probabilité pour que toutes ces erreurs soient inférieures à des limites données? Si persuadé qu'on soit qu'il faut le faire, le nombre des grandeurs qui dépendent du triangle étant infini, il faudra s'arrêter; où commencera \^ faute commise?

Un exemple réduira l'objection à sa véritable valeur.

On construit une carte géographique. Les villes, villages et bourgades y sont inscrits par milliers. On étudie l'un des points principaux et Ton cherche l'erreur probable à craindre sur chacune de ses coordonnées géographiques. Les calculs sont irréprochables; l'auteur de l'objection, sans y contredire, signale une faute très grave. Votre carte, dil-il, contient mille déterminations; il fallait y en vertu à' un principe dont la vérité frappera tout le monde, faire pour les mille points marqués le calcul exécuté pour un seul et multiplier les mille probabilités.

Les erreurs n'étant pas indépendantes, la solution aurait le mérite d'une difficulté vaincue, mais elle condamnerait la carte la plus admirée d'autant plus sévèrement qu'elle serait plus riche de détails. Comment espérer que le produit de mille probabilités ne soit pas très petit?

Le produit étant supposé connu, on accueillerait certainement comme un grand progrès la recherche isolée de chaque facteur. C'est elle seulement qui peut intéresser.

227. Nous terminerons ce Chapitre par la démonstration d'un élégant théorème de Gauss, annoncé (214) et dont les conséquences

relatives à la détemûnadoa de la précLâoB d*aa STSlème d^observatioDi ce me paraissent pa5 acceptables.

On a meîaré directement « — /> grandeurs. Les mesures inspirent la même confiance: mais la Taleor probable m- du carré de l'erreur commise sur Tune d*eUes est a priori complètement inconnue. Ces n — p grandeurs mesurées sont liées par des équations, que l'énoncé du problème fait connaître^ à n grandeurs inconnues. La méthode des moindres carrés détermine ces inconnues par la condition que les corrections sur les grandeurs directement mesurées, qui rendent les équations compatibles, aient une somme de carrés minima.

Les calculs font connaître exactement cetle sonune de carrés, plus petite par Fénoncé même de la condition imposée, que la :^omme des carrés des erreurs réellement commises.

Le théorème de Gauss se compose de deux parties :

La somme des carrés des corrections prescrites par la méthode des moindres carrés est une fonction homogène du second degré, parfaitement déterminée, des erreurs réellement commises.

En désignant par m- la valeur probable, a priori, du carré de l'erreur commise sur une observation, la valeur probable de la fonction qui représente la somme des carrés des corrections prescrites par la méthode, et par conséquent la valeur probable de celte somme de carrés dont la valeur numérique est connue, est égale kpni^,

Nous allons démontrer ces deux théorèmes, sans pouvoir accepter qu'il soit permis ensuite d'égaler la valeur vraie de la somme des carrés des corrections à la valeur probable et d'en conclure pour valeur probable du carré de Tune des erreurs d'observations

c^, c-ij . . ., e„^p étant les corrections faites aux grandeurs mesurées et le dénominateur p étant l'excès du nombre n -\- p des mesures prises sur le nombre n des inconnues qu'on en a déduites.

Non seulement la somme des carrés des corrections, mais chaque correction en particulier peut s'exprimer en fonction des erreurs réellement commises. Si ces erreurs, en effet, sont connues, les équations auxquelles les inconnues satisfont, et qui deviennent incompatibles, sont parfaitement déterminées; elles s'accorderaient si l'on ajoutait à chaque grandeur l'erreur commise en la mesurant, mais elles peuvent s'accorder d'une infinité de manières. Les corrections véritables étant inconnues, on rend la somme des carrés minima. Le calcul à faire pour cela est parfaitement déterminé, et le résultat ne peut contenir, outre les données de la question et les grandeurs mesurées, que les erreurs réellement commises.

La méthode exposée (207) permet de calculer cette fonction, dont l'existence est évidente a priori.

Soient

Piei-f- Pj^jH-.. .-+- P/14-p^/t-Hp— «i.

Tj ei -h Tj ^2 -h . . . -+- Tn^p Cn-^p - «/>

les équations qui lient les erreurs possibles 64, Cj, . . ., Cn+p aux évaluations des grandeurs /<, Ly . . ., In+pj dont a,, ao, . . ., a,, sont des fonctions numériquement connues et très petites, puisqu'elles seraient rigoureusement nulles si les mesures étaient exactes. Les corrections ^1,^2, . . ., c,i^p^ prescrites par la méthode des moindres carrés, sont des fonctions de a,, ao, . . ., ay, que la méthode fait connaître. La somme de leurs carrés est une fonction homogène du second degré de ai, a2, . . ., a^. Mais les équations (Sg) sont satisfaites par tous les systèmes de corrections compatibles avec les données du problème; elles le sont donc par les corrections égales aux erreurs véritablement commises, et, en remplaçant a,, aj, ..., ctp par leurs valeurs données par (39) en fonction des erreurs véritables Si , £2, ... . £«+/!, on aura exprimé la somme des carrés des correclions en fonction de ces erreurs véritablement commises qui restent inconnues.

3oO CALCUL DES PROBABILITÉS.

Pour obtenir les corrections prescrites par la méthode des moindres carrés, il faut rendre minima la somme

adjoindre, par conséquent, à Téquation

ex de\ -h eide% -i- . . . -4- Cn-^p dcn-k-p = o

les/> équations obtenues en diflférentiant le système (Sp).

On devra, conformément à la théorie des maxima et minima, ajouter ces équations après les avoir multipliées par des facteurs indéterminés, et écrire le système

<?i-^ HI1P1-+- K2Q1 + . ..-i- fApT, = o, / ^2^- îJiiPî-^ :^iQî-i-.--^-I^/»T,= o,

V ^n-^p -+" f^l ^ n+p -+- f^2 Q.n-i-p -r-, . .-i- \lp i-n-\-p — O i

les facteurs [jL|, [jl2, . . ., (Jt-;> et les inconnues ^1,^2, • . ., ^n^p se déduiront de ces n -\-p équations adjointes aux p équations (Sg). Pour obtenir les facteurs |jl,, (jlo, ..., [x^, ajoutons les équations (4o), après les avoir multipliées par P|, Pj, . . ., puis par Q«î Q2) . . . , et ainsi de suite, nous aurons

aiH-{i,(P«) -4-;ji2(PQ)--...-f-uL;,(PiT) =0,

oLp-.-iid'^P) -i-;jLj(TQ)-h...-f-:x,,(Ti) =0,

(P*-), (PQ), ... représentant la somme des carrés des valeurs dePJ, dePiQ,, ....

Ajoutons les équations (4o), après les avoir multipliées par ^4, e-ij • . • , ^n^pt nous aurons

2 e] -h jxi «1 -f- (jLj «2 -f- . . . -f- jjLp ap = o,

et cette équation fera connaître ^ef, exprimé, comme nous l'avions annoncé, en fonction de a,, a2, . . ., a,, qui sont eux-mêmes des fonctions connues d'un système quelconque de corrections possi-

CHAP. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 3o l

bles et par conséquent, en particulier, des erreurs réellement commises.

228. Il nous reste à chercher la valeur probable de Texpression

Si £,, Sa, . . . , e,!^^ sont les erreurs réellement commises, la valeur probable de tj est, quel que soit /, la quantité inconnue m'^ qui représente la précision des observations, et, les mesures étant indépendantes, la valeur probable de £/, e/', quels que soient i et /', est égale à zéro.

La valeur probable de (4^^) est donc le produit par m^ de la somme des coefficients des carrés de êi, £2, . . -, £/?+/>•

En substituant aux a dans la somme (42) leurs valeurs en fonction des £, données par le système (3c)), l'expression devient, en ajant égard aux équations (4o),

et, comme les corrections e sont des fonctions linéaires des jjl et des a, par conséquent des £, on voit que la somme des coefficients des carrés £j, £2, . . . , tn^p dans (4^) est égale à

dei dei den-*-p

c'est-à-dire, d'après le système (Sg), égale, au signe près, à

^i -r H VI -»: — !-...-+- Il -rr-

diXi dti

dixp dt^

dikx difi-^p

dtn-hp

dllp

dt/i^.f

On a, en remarquant que les £ satisfont au système (Sp) et que les [JL sont des fonctions linéaires des a,

dixi dixi diM . ^f^i T .

on en déduit les équations

^» dû -Tùrr^'-^dT,^'^''^'"'^ HT, ^'^'^

d^x dixi p, . <^i p o ^ ^iH P.T.

La somme des premiers membres est donc égale à

c'est-à-dire à l'unité ; car cette expression (44) est précisément le résultat de la substitution dans la valeur de [jl, déduite de (4o), des coefficients de [jL| aux termes tout connus ai, a2, . . ., oLp.

La première colonne du Tableau est égale à Tunité.

11 en est de même de toutes les autres, et la somme est égale à p.

Cette élégante démonstration a été donnée par M. Guyou.

Lors donc que l'on résout un problème par la méthode des moindres carrés, n -\-p mesures ayant été prises et le carré de J'erreur à craindre sur chacune d'elles étant m^, la valeur probable de la somme des carrés des erreurs réellement commises est (n -\-p)m^ ; mais la valeur probable, nécessairement plus petite, de la somme des carrés des corrections indiquées par la méthode comme les plus plausibles est seulement/?/?!^.

229. Reprenons, pour donner un exemple, le problème résolu (214). A| , A2, A3, A4 étant quatre points observés du point O, et les angles sous lesquels AjAo, A1A3, A|A4, A4 A3 et A4A2 sont vus du point O étant /,, Z^, /a, /», /s, en posant

U-^ II— /3=an a, et 7.-2 étant très petits, les corrections à faire aux angles me-

CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 3o3

sures sont

- ai-r- - aj,

La somme de leurs carrés est

On a, en nommant £,, Sj, £3, Sj, £5 les erreurs réellement commises,

a, = ev-4-c| — £3,

La valeur probable de af est Zm-; celle de aij, 3m^ et celle de a, 7.2^1)1'-^ la valeur probable de (45) est donc

c'est-à-dire, conformément au théorème de Gauss, le produit de m^ par Texcès 5 — 3 du nombre des angles mesurés sur celui des angles inconnus réellement distincts.

En égalant cette somme 2///^ à la somme des carres des corrections prescrites par les formules pour les huit angles directement mesurés, la valeur ainsi obtenue pour m'^ ne peut nullement être acceptée pour mesure certaine ou vraisemblable de Terreur à craindre dans les observations.

On peut affirmer seulement, et c'est là le point important, que, si la somme des carrés des corrections est petite, la probabilité est grande pour que les observations aient été bien faites.

230. Indépendamment de l'incertitude du principe sur lequel la démonstration repose, je veux dire le droit d'égaler la somme

.'5o4 CALCLL DES PROBABILITÉS.

(les carrés des corrections à leur valeur probable, une autre cause, non moins grave que la première, suffirait, dans le plus grand nombre des cas, pour enlever toute confiance dans l'évaluation précise des chances d'erreur proposées après chaque application de la méthode.

On suppose, a priori, toutes les mesures également précises; il est impossible, dans la plupart des cas, de croire à cette égalité : c'est faute de connaître- aucune raison de préférence qu'on accepte l'équivalence des résultats. Mais, connues ou inconnues, ces raisons, si elles existent, doivent exercer une influence sur l'erreur réellement commise, et c'est celle-là dont on prétend donner les chances.

11 ne faudrait pas dire : On obtient une précision moyenne. Des mesures dont la précision est inégale ne donneront nullement le même résultat qu'un nombre égal de mesures prises avec une précision uniforme de quelque manière qu'on la choisisse.

Les formules, enfin, supposent pour toutes les observations les erreurs constantes absolument écartées; c'est une condition difficilement remplie quand on combine des observations d'origine didércnte.

Le calcul de la précision d'un système d'observations et l'évaluation qu'on en déduit pour la confiance méritée par le résultat ont compromis plus d'une fois la méthode des moindres carrés.

Après avoir discuté par d'immenses calculs les observations du passage de Vénus sur le Soleil en 1761, Encke a trouvé pour la parallaxe du Soleil 8", 49 et pour erreur probable o", 06. Il y avait, en conséquence, plus de 3ooooo à parier contre 1 que Terreur n'atteindrait pas o",42, représentant sept fois l'erreur probable.

Les astronomes, cependant, acceptent aujourd'hui pour parallaxe 8^,91, qui correspond précisément à l'erreur o''',42.

Sur un nombre total de 149 observations, Encke, par des raisons dont il serait difficile de donner le détail, en avait considéré 90 comme meilleures que les 59 autres. Les premières avaient même poids dans les calculs et les secondes un poids moi-

CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 3o5

lié moindre. Il n^en faut pas davantage, indépendamment de toute objection théorique, pour expliquer, j'oserai dire pour prévoir, des erreurs plus grandes encore que celles qu'on a commises.

Si le résultat final est exact, l'un des observateurs, Short, s'est trompé de a5" sur l'instant du second contact et Justander de ^o^ sur celui du premier.

L'un et l'autre, cependant, sont admis dans la première classe, comme Lacaille, qui se serait trompé de 2" seulement, et Lalande, de

L'erreur probable sur l'instant du premier contact, pour tous les observateurs de première classe, étant 7'', il y aurait, si l'on s'en rapporte aux formules, 19000 à parier contre i qu'une erreur de 4o^ ne sera pas commise; n'était-ce pas une raison suffisante pour faire passer Justander dans la seconde classe, peut-être même pour supprimer ses chiffres, en voyant qu'à la sortie il s'est trompé de 20"?

Encke, en prenant ce parti, aurait manqué, je le sais, à un principe que je n'accepte pas : les observations sont des témoins; SI elles sont, avant Tépreuve, jugées dignes de confiance, leur déclaration, quelle qu'elle soit, doit être recueillie et conservée.

Laplace a évalué la masse de Jupiter j^ de celle du Soleil. L'erreur commise, afGrmait-il, est plus petite que -g- du nombre proposé, et le Calcul des probabilités démontre qu'il y a 1000 000 contre i à parier pour qu'elle n'atleigne pas cette limite. La limite cependant a été dépassée : aucun astronome n'en doute aujourd'hul.

Il serait intéressant de refaire et de discuter de tels calculs. Je veux parler ici des principes seulement. Lorsque des inconnues sont déterminées par un grand nombre de mesures, les équations <^tant plus nombreuses qu*il ne faut, le calcul fait connaître les corrections pour lesquelles la somme des carrés est minima.

Quelle est la confiance méritée par les résultats?

Nous avons résolu deux problèmes différents :

Les observations n'étant pas faites encore, ou, ce qui revient au même, leur résultat étant encore inconnu, mais leur précision B. 20

3o6 CALCUL DES PROBABILITÉS.

étant appréciée d'après l'habileté de l'observateur, quelle est la précision du résultat? La solution est irréprochable, mais sans intérêt dans la plupart des cas. Lorsque les observateurs sont différents et les observations nombreuses, il est impossible, évidemment, d'exprimer a priori par un nombre la confiance méritée par chacun, en écartant les circonstances particulières qui ont pu le troubler, comme, par exemple, dans les observations du passage de Vénus, ce phénomène imprévu de la goutte qui rendait les contacts incertains.

C'est après les avoir obtenus qu'il faut juger les résultats, et le véritable problème est celui-ci : Les observations sont faites, les calculs terminés, la somme des carrés des corrections est connue en chiffres; en déduire la précision supposée égale des observalions combinées.

Nous devons répéter ce qui a été dit (174) :

Quand on entreprend une série de mesures, l'habileté des observateurs n'est ni parfaitement connue ni complètement inconnue. Ce sont des cas extrêmes. Il arrivera presque toujours que toutes les valeurs de la précision étant possibles, elles seront, a priori, inégalement vraisemblables. La loi de leurs probabilités avant l'épreuve étant inconnue, le problème est insoluble.

Si les observations étaient mal faites, les équations seraient discordantes. La probabilité pour que le hasard, et non la perfection des mesures, les rende compatibles après de petites corrections peut être considérée comme une impossibilité. On peut, en conséquence, quand la somme des carrés des erreurs est petite, accepter sans crainte le résultat, mais il est téméraire d'évaluer en chiffres la confiance qu'il doit inspirer.

CHAP. XIT. LES LOIS DE LA STATISTIQUE. Soj