LES LOIS DE LA STATISTIQUE
Were tliU calculas Tounded on the eiperiencc of a rcry greai nomber of years, il would very wcU b« worth ihc whtie to think or melhods lo facilite the computation of two, tbreo or more liTec.
lUlLEY.
»3I. II existe plus d'une manière de consulter le sort; quand la probabilité est la même, la moyenne est la même sur un grand nombre d'épreuves, mais les chances d'écart peuvent être différentes. — 232. Expression algébrique du problème à résoudre. — 233. Laplace et Poisson, dans leurs études sur la statistique des naissances, ont négligé cette remarque. — 234. Le tirage dans plusieurs urnes donne, pour une môme probabilité moyenne, une valeur plus petite au carré de l'écart. — 235. Influence de l'importance des sommes assurées sur les chances d'écart de la moyenne. La formule obtenue en supposant les tirages faits dans la môme urne n'est pas acceptable. — 236. Loi de mortalité de Gompertz.
231. Les géomètres ont tacitement assimilé les événements fortuits à une série de tirages au sort faits dans une urne de composition inconnue. Rien n'autorise, a priori, une telle hypothèse. Toutes les manières de consulter le hasard ne sont pas équivalentes. Sans vouloir le contester, on s'est montré souvent trop peu sévère dans le choix à faire entre elles. Une première condition est évidente, c'est l'invariabilité approchée du rapport entre le nombre des événements et celui des épreuves.
Quand cette première vérification réussit, on s'en contente presque toujours; le rapport constant fait connaître la composition d'une urne dans laquelle doivent se faire les tirages fictifs; on
3o8 CALCUL DES PROBABILITÉS.
en déduit, pour un grand nombre d'épreuves, les conséquences estimées de plus en plus probables.
Si l'on observe, par exemple, dans un pays dont la population est stationnaire, le nombre des décès, celui des naissances, le rapport du nombre des filles à celui des garçons, le nombre des incendies, celui des jours où le vent souffle dans une direction désignée, etc., on trouvera, avec une approximation inégale, mais toujours grande à la longue, un rapport invariable entre le nombre d'événements d'un genre désigné et le nombre des épreuves. On comprend dans quel sens est pris le mot épreuve. S'il s'agit, par exemple, des incendies, chaque maison sert d'épreuve, et le rapport dont nous parlons est celui de leur nombre total à celui des sinistres.
Chaque événement fortuit acquiert par ces relevés, quand ils portent sur de grands nombres, une probabilité déterminée sur laquelle, lorsque les rapports restent constants, ne peut s'élever aucun doute.
Si, sur loooo individus âgés de 3o ans, 5ooo atteignent Tâge de 65 ans, on conclura, très légitimement, que pour un homme de 3o ans choisi au hasard la probabilité de vivre 35 ans est {.
La conclusion étant acceptée, elle n'autorise pas l'assimilation des chances de décès des hommes de 3o ans, dans une période de 35 ans, h celles du tirage au sort dans une urne contenant I boule blanche et i boule noire.
Si dans une telle urne on fait lOOOo tirages, le nombre des boules blanches obtenues sera 5ooo environ, un peu plus ou un peu moins, selon les caprices du hasard.
Si, sur loooo individus âgés de 3o ans, on compte les survivants 35 ans après, ce nombre, d'après les Tables qui sont très exactes, sera 5ooo environ, un peu plus, un peu moins, suivant des circonstances que nul ne peut prévoir.
Les deux cas, sous ce rapport, sont identiques.
Est-ce là tout ce qu'on doit demander?
Les nombres comparés diffèrent peu de 5ooo.
Mais l'écart dans un cas, celui des décès, est complètement in-
CHAP. XII. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. Sog
connu ; nous n'en pouvons rien dire, moins encore affirmer. Dans le cas des tirages au sort dans une urne, il est soumis à des lois précises.
La moyenne de ses valeurs absolues, celle des valeurs de son carré peuvent être, avec confiance, calculées à l'avance.
On peut affirmer que, dans le cas pris pour exemple, sur loooo tirages renouvelés un grand nombre de fois, la valeur moyenne de l'écart sera 4o; celle de son carré, 25oo.
Si, en considérant un grand nombre de groupes de loooo hommes de 3o ans, la moyenne générale des décès en 35 ans étant égale à 5ooo, la moyenne des écarts, au lieu d'être 4oj se trouve égale à loo, on pourra, sans en conclure l'existence d'une cause perturbatrice, accuser de la discordance la prétention d'assimiler deux problèmes très différents.
Il y a, nous l'avons dit, bien des moyens de consulter le hasard ; quand ils donnent le même résultat moyen, ils ne donnent pas pour cela les mêmes probabilités d'écart. Au lieu de tirer des boules dans une urne de composition donnée, on peut associer plusieurs urnes de composition diflercnte et puiser alternativement dans chacune d'elles : les résultats moyens sont les mêmes que pour des tirages faits dans une urne de composition moyenne, les chances d'écart ne le sont pas.
Si, pour prendre un cas extrême, au lieu de puiser lOOoo fois dans une urne contenant i boule noire et i boule blanche, on puisait alternativement dans deux urnes contenant, l'une la boule noire, l'autre la boule blanche, on obtiendrait avec certitude 5ooo fois la boule blanche, et l'écart deviendrait nul.
La substitution de plusieurs urnes à une seule pour représenter les Tables de mortalité parait, a priori, très plausible. Parmi les individus du même âge, il est impossible de ne pas faire des catégories pour lesquelles les chances de vie sont inégales. Elles ne sont pas les mêmes pour la ville et pour la campagne^ on doit tenir compte des habitudes d'oisiveté ou de travail, de la profession exercée, de l'intempérance ou de la sobriété, de la longévité des parents, etc. La statistique confond tous les cas et
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j^ , iini<:o£i j^ènêrale semble devoir être posée de la nia-
vi<tt!iitf"ï. t*-'^""^ P^"*'' ^"^ !^ épreuves, arriver un nombn* »t ii*> : -Jk probabilité pour qu'il arrive n fois est p„'y b* ,.....tr u^.uaii-'^ io^^ arrivées sera
ivsc»»»* P*"^ 1^^' '^ statistique indiquera le nombre /> rtjjjjiililé de révéneinent k chaque épreuve.
CHAP. XII. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. 3ll
moyenne
(2; Ni -t-N2^N3-^...-i-N,,
difTérera peu de (jl/>. Nous pouvons même la regarder comme égale à [jl/?, car c'est ce rapport seul qui nous fait connaître la probabilité moyenne désignée par/?.
L'écart dans les [jl épreuves formant la série du rang i sera
^, N,-uNî-i-N3-f-...-v-N„ .,
La moyenne des carrés des valeurs de cette différence aurait (62) une expression très simple, [i./?(i — />), si l'événement était le tirage au sort dans une urne; elle pourra, sans qu'on s'en étonne, prendre dans le cas général une valeur très différente.
L'étude de ces valeurs dans tous les cas possibles serait intéressante.
La moyenne des carrés de l'expression (3) est identiquement (163)
^2^^'| ^...-f-^'s /N,-r-Nj-f-...-+-N„
Le second terme différera peu de ^'^P'\ cela résulte, nous l'avons dit, de la définition môme de p.
Le premier terme
n'est pas une fonction déterminée de />.
Si les nombres N^, No, . . . , N„ résultent de tirages au sort dans une urne donnant à la sortie d'une boule blanche la probabilité/?, on aura approximativement, pour un grand nombre d'épreuves,
L'équation (5) est évidente.
3l2 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Le premier membre de (6) peut, si n est grand, être remplacé par la \aleur probable de N^, c'est-à-dire par le carré du nombre d'arrivées sur [jl épreuves de l'événement dont la probabilité est la somme des termes du développement de (/? + qY multipliés chacun par le carré de l'exposant de p. Cette somme a été calculée (183).
Si l'on ne connaît sur les probabilités pst p^y • • • > /^{i que la seule équation
à laquelle il faut adjoindre la condition identique
/?l-+-/?îH-/)3H-.. .H-/>{i= I,
l'équation (6) n'est plus démontrée. Il est impossible de connaître, d'après les données, la valeur probable de
Nf-^N|-f-...-^Ni
égale à
et par conséquent aussi la valeur probable de l'écart représentée par l'expression (4) doit rester inconnue.
233. Lorsque Laplace et Poisson ont cherché les probabilités de certaines anomalies locales dans le rapport du nombre des naissances masculines et féminines, ils n'ont pas tenu compte des diiïerences très grandes que nous venons de signaler. Leurs calculs sont faits comme si, la naissance d'un garçon ayant une certaine probabilité, les résultats possibles d'un nombre quelconque de naissances avaient, à moins de causes perturbatrices, les mêmes chances que si l'on tirait des boules d'une même urne convenablement préparée.
234. Lorsque la probabilité d'un événement est /?, la valeur probable du nombre d'arrivées sur [jl épreuves est [jl/?, et celle du carré de l'écart entre le nombre véritable et le nombre probable *^p est (62) {jL/?(i — /?).
CHAP. XIÏ. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. 3l3
Si, à une urne donnant une probabilité p à Tévénement, on substitue n urnes diflférentes donnant les probabilités y^i, p^j . . . , p^t dans lesquelles on puisera alternativement, la probabilité moyenne étant égale à /?, la valeur moyenne du carré de l'écart sera diminuée.
Si l'on tire, en effet, successivement dans les diverses urnes et que, le nombre total des tirages étant [x/i, on ait puisé [x fois dans chacune, le nombre probable des boules blanches sorties sera
Sur un même nombre [x/i de tirages dans la première urne, le nombre probable des boules blanches serait
^np.
Ces nombres sont égaux, puisque, par hypothèse, la moyenne
/?) -^ /?a H- /?3 -^ . . . -^ P a est égale à p.
Les chances d'écart sont très différentes.
Dans le cas des [ji/i tirages faits dans l'urne qui donne à la sortie d'une boule blanche la probabilité /?, si l'on désigne le nombre des boules blanches sorties par
\i.np H- -3, la valeur probable de z'^ est (62) (7) \^np{^—p)'
Dans le cas des n séries de ;jl tirages qui forment la seconde épreuve, les nombres de boules blanches pourront être représentés par
l'écart entre leur nombre total et le nombre le plus probable sera
^H -r- -«2 -r- . . . -t- ^fiy
dont le carré peut être représenté par
3l4 CALCUL DES PROBABILITÉS.
La valeur probable de -s/5// est nulle, quels que soient i el i' \ celle de cj est
La valeur probable du carré de l'écart dans l'ensemble des [jl/i épreuves faites dans n urnes différentes est
(9) I^[/?i(i— />i)-+-/>i(i— />t) -H •••-+■ A'/iCi — />/»)].
La différence des expressions (7) et (9) est, on le voit aisément,
elle est essentiellement positive, et la valeur probable du carré de Técart dans le cas d'une seule urne est, pour une même probabilité moyenne, plus grande que pour les urnes associées.
23o. Les remarques précédentes peuvent s'appliquer à la théorie des assurances. Le bénéfice d'une Compagnie d'assurances sur la vie, par exemple, dépend du nombre des décès qui surviendront dans l'année parmi les assurés. Ce nombre se compose de deux parties : un terme (ixe, proportionnel au nombre des assurés et donné par les Tables, et un terme aléatoire, inconnu de grandeur et de signe, que nous nommerons Vécart. Le premier terme fait connaître la valeur équitable de la prime à payer, le second représente les variations du bénéfice annuel; il est très probablement petit par rapport au premier, si le nombre des affaires est considérable.
L'appréciation réduite à ces termes vagues n'est pas contestable ; mais il n'est pas permis de la réduire en formule en assimilant les écarts à ceux que peuvent produire des tirages au sort dans une urne de composition fixe.
Si l'on considère, par exemple, une Compagnie d'assurances mutuelles contre l'incendie, la part de chacun dans la répartition des sinistres variera d'autant moins, toutes choses égales d'ailleurs, d'une année à l'autre, que le nombre des assurés sera plus
