CHAP. XII. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE
^rand et que les sommes assurées à chacun différeront moins de l'égalité.
Soient
Ui le nombre des assurés à qui la prime àv payer en cas de sinistre
est a, ;
JJL2 le nombre de ceux pour qui la prime est a^;
;j.,i le nombre de ceux pour qui elle est a„.
Soient
f*\<, e-is . . . , e„ les écarts relatifs à chacune de ces catégories ; p la probabilité d'un sinistre.
La somme probable à payer sera
et la part proportionnelle de celui qui doit recevoir ai est
/jaiCiJLiCti-h [JL2 a, -+-... -+- \x„^n) ai -f- ctj -T- , . . -T- 3t/i
h'écart de la somme à payer, c'est-à-dire la différence entre la somme prévue et celle qui sera réellement due, est pour la Compagnie
Les écarts 6*1, 6*2, . . .^ Cn ayant des valeurs probables égales à zéro, ainsi que leurs produits deux à deux, le carré de cette expression a môme valeur probable que
(10) ajej -T- a|ej -f-. . . .H- ajcj.
Si le sinistre dont la probabilité est/? était assimilé à un tirage au sort dans une urne de composition invariable, la valeur probable de e] serait [Ai/>(i — /?), et celle de la somme (10) aurait pour valeur
La part correspondante de l'assuré qui doit recevoir a/ serait
a//?(i— /))(jji,a2 -f- [jL^al -4-.. .-f- [Ji„aJ)
«1 -h Œj -H , . . -f- Ot;^
3l6 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Celle évaluallon, déduite d'une assimilation que rien n'autorise, ne doit inspirer aucune confiance.
236. Je terminerai ce Chapitre en indiquant une loi remarquable de probabilité proposée par Gompertz, et qui, dans des limites assez écartées, paraît s'approcher de la vérité.
La condition arbitrairement imposée à la fonction inconnue est que la probabilité pour que deux individus d'âges connus vivent l'un et l'autre après un nombre donné d'années soit proportionnelle à celle pour qu'un troisième individu, d'âge convenablement choisi, vive lui-même après ce même nombre d'années.
Si ^(z) désigne, pour un nombre donné de naissances, le nombre des survivants à 1 âge 5, la condition demandée est exprimée par l'équation
Cette équation doit avoir lieu quel que soit x^ quand on choisit pour G une fonction convenable de a et de b.
2 — — — ? est, en effet, la probabilité pour qu'un individu dont
l'âge est a vive encore dans n années.
En prenant les logarithmes des deux membres de (12) et posant l'f{if) ^=F(u), la condition devient
F{a-r-x)-^F{b-hx) = F{c-{-x}-h H,
H étant une fonction de a et de 6 indépendante de jc. En prenant la dérivée par rapport k x et posant
F'{u) = ^iu), on a
par conséquent, en faisant j: = o,
(i4) ^(a)-^Hb) = ^{c);
CHAP. Xït. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. 3l~
on doit avoir aussi
(i5) ^{a-i- dx)-h^(b-+- dx) = ^(c-{- dx)
et, en retranchant,
Les seconds membres des équations (i4) et (i5) sont fonctions de c\ ils dépendent donc Tun de Tautre. Il doit en être de même des premiers membres, et une relation doit exister entre les deux fonctions
La condition nécessaire et suffisante pour qu*il en soit ainsi est que le déterminant fonctionnel soit nul. Ecrivons donc
Telle est Téquation qui détermine ^. Si l'on suppose que ni ^' ni ♦y ne soient nuls, on aura
^\a) ^\b)' on en déduit aisément
et, successivement,
H|, C|, Ci et k sont des constantes.
Cette formule, plus générale que celle de Gompertz, a été proposée par Makeliam.
Gompertz suppose C| et C2 égaux à zéro et prend
J'ai déterminé les coefficients par la condition d'accorder autant que possible les coefficients avec les meilleures Tables connues.
3l8 CA.LCUL DES PROBABILITÉS.
Les résultats sont donnés par le Tableau suivant :
K= 0,071485, logK = 8,8542146,
H = — 0,0065461, logH = 7,8159811, G= 94r,i6o, log G = 2,9736634.
Tables
des 20 €'••
de
de
de
Calcul.
anglaises.
Duvillard.
Deparcieux.
ISorthampton
OtJ. . .
oo. . •
Les différences entre les valeurs de ^(2) et celles que donnent les Tables des vingt Compagnies anglaises sont moindres que les différences des diverses Tables entre elles.
