CHAP. £. — É^UMÉRATION DES CHANCES
Comment croire, cependant, qu'il suffira d'ouvrir un tiroir pour changer la probabilité et de | l'élever à ^?
Le raisonnement ne peut être juste. Il ne Test pas en effet.
Après l'ouverture du premier tiroir deux cas restent possibles. Sur ces deux cas, un seul est favorable, cela est vrai, mais les deux cas n'ont pas môme vraisemblance.
Si la pièce qu'on a vue. est en or, l'autre peut être en argent, mais on aurait avantage à parier pour qu'elle soit en or.
Supposons, pour en faire paraître l'évidence, qu'au lieu de trois coffrets on en ait trois cents. Cent contiennent deux médailles d'or, cent deux médailles d'argent et cent une médaille d'or et une médaille d'argent. Dans chaque coffret on ouvre un tiroir, on voit par conséquent trois cents médailles. Cent d'entre elles sont en or et cent en argent, cela est certain ; les cent autres sont douteuses, elles appartiennent aux coffrets dont les pièces ne sont pas pareilles ; le hasard en réglera le nombre.
On doit s'attendre, en ouvrant los trois cents tiroirs, à y voir moins de deux cents pièces d'or : la probabilité pour que la première qui se préscnlc appartienne à l'un des cent coffrets dont l'autre pièce est en or est donc plus grande que ~.
3. Supposons, pour second exemple, que Pierre et Paul jouent aux boules; celui qui placera la boule la plus rapprochée du but gagnera. Ils %ont également habiles; mais Pierre a deux boules à jeter, Paul n'en a qu'une. (Quelle est la probabilité pour que Pierre gagne?
Sur .trois boules jetées par des joueurs également habiles, Pierre en a deux. La probabilité de gagner est pour lui |.
Ne pourrait-on pas dire cependant :
Cliacune des boules de Pierre peut être meilleure ou moins bonne que la boule de Paul^ quatre cas sont donc possibles. Sur les quatre, un seul fait perdre Pierre, celui où ses deux boules sont l'une et l'autre moins bonnes que celle de Paul, les trois autres cas lui sont favorables. La probabilité de gagner, pour Pierre, est |.
L'éauméralion est exacte, mais les cas n'ont pas même vraisemblance.
l^aul a de bons et de mauvais coups. Si la boule qu'il a lancée l'emporte sur la première boule de Pierre, il est à croire, sans rien savoir de plus, qu'elle n'est pas parmi les mauvaises. La chance pour qu'elle soit moins bonne que la seconde boule de Pierre est diminuée. Parmi les quatre cas possible, ceux dans lesquels Pierre vaincu dans un coup est vainqueur dans l'autre sont moins vraisemblables que ccuk dans lesquels ses deux boules ont le même sort.
4. Une remarque encore est nécessaire : l'infini n'est pas un nombre; on ne doit pas, sans explication, l'introduire dans les raisonnements. La précision illusoire des mots pourrait faire naître des contradictions. Choisir au hasard, entre un nombre infini de cas possibles, n'est pas une indication suffisante.
On demande, par exemple, la probabilité pour qu'un nombre, entier ou fraclionnairc, commensurable ou incommensurable, choisi au hasard entre o et loo, soit plus grand que 5o. La réponse semble évidente : le nombre des cas favorables est la moitié de celui des cas possibles. La probabilité est ^.
Au lieu du nombre, cependant, on peut choisir son carré. Si le nombre est compris entre 5o et loo, le carré le sera entre 25oo et loooo. ,
La probabilité pour qu'un nombre choisi au hasard entre o et loooo surpasse 25oo semble évidente : le nombre des cas favorables est les trois quarts du nombre des cas possibles. La
probabilité est \.
Les deux problèmes sont identiques. D'où vient la diffiérence des réponses? Les énoncés manquent de précision.
Les contradictions de ce genre peuvent être multipliées à Finfini.
5. On trace au hasard une corde dans un cercle. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit plus petite que le côté du triangle équilaléral inscrit?
CHAP. I. — ÉîrUMÉRATION DES CHANCES. J
On peut dire : sî Tune des cxtréinilés de la corde est connue, ce renseignement ne change pas la probabilité; la svmétrie du cercle ne permet d'y attacher aucune influence, favorable ou défavorable à l'arrivée de l'événement demandé.
L'une des extrémités de la corde étant connue, la direction doit être réglée par le hasard. Si l'on trace les deux côtés du triangle équilatéral ayant pour sommet le point donné, ils forment entre eux et avec la tangente trois angles de 60". La corde, pour être plus grande que le côté du triangle équilatéral, doit se trouver dans celui des trois angles qui est compris entre les deux autres. La probabilité pour que le hasard entre trois angles égaux qui peuvent le recevoir le dirige dans celui-là semble, par définition, égale à j.
On peut dire aussi : si Ton connaît la direction de la corde, ce renseignement ne change pas la probabilité. La s\mélrie du cercle ne permet d'y attacher aucune influence, favorable ou défavorable à l'arrivée de l'événement demandé.
La direction de la corde étant donnée, elle doit, pour cire plus grande que le côté du triangle équilatéral, couper Tun ou l'autre des rayons qui composent le diamètre perpendiculaire, dans la moitié la plus voisine du centre. La probabilité pour qu'il en soit ainsi semble, par définition, égale à|.
On peut dire encore : choisir une corde au hasard, c'est en choisir au hasard le point milieu. Pour que la corde soit plus grande que le côté du triangle équilatéral, il faut et il suffit que le point milieu soit à une distance du centre plus petite que la moitié du rayon, c'est-à-dire à l'intérieur d'un cercle quatre fois plus petit en surface. Le nombre des points situés dans l'intérieur d^une surface quatre fois moindre est quatre fois moindre. La probabilité pour que la corde dont le milieu est choisi au hasard soit plus grande que le côté du triangle équilatéral semble, par définition, égale à \.
Entre ces trois réponses, quelle est la véritable? Aucune des trois n'est fausse, aucune n'est exacte, la question est mal posée.
