CHAP. I. — KMUMÉRATION DES CHANCES
tiplîe par 6 le nombre des cas favorables. Le nombre total de ces cas pour les n épreuves est donc 6". La probabilité, rapport du nombre des cas favorables à celui des cas possibles, est
12. Problème V. — Quelle est la probabilité, en jetant deux dés, pour avoir une somme de points égale à 8?
La somme 8 peut être, comme la somme 7, obtenue de trois manières : 6 et 2, 5 et 3, 4 et /\\ mais ces trois manières représentent cinq cas et non six. Le doublet 4 et 4 ne peut se produire» en effet, que si les deux dés donnent 4« Le nombre des cas possibles est 5 et la probabilité est j^,
13. Problème VL — Quelle est la probabilité, en jetant deux dés trois fois de suite, pour amener une fois au moins un doublet?
Le nombre des combinaisons possibles sur trois épreuves est
A chaque coup, six combinaisons sont des doublets, trente n'en sont pas. Le nombre total des combinaisons qui ne contiennent aucun doublet est donc, sur trois épreuves, 3o' ou 27000. Le nombre des combinaisons qui contiennent un doublet au moins
est
La probabilité demandée est
1-4. Problème VIL — Quelle est la probabilité pour qu'en fêtant deux dés n fois de suite on amène sonnez au moins une fois?
A chaque fois que l'on jette deux dés, le nombre des associa-
le nombre de celles qui ne contiennent pas de boules blanches est /î*.
Le nombre des combinaisons contenant une boule blanche au moins est
La probabilité demandée est donc «
\ lit, "T— f C f- \ IIV -V lit /
Le nombre k des épreuves à tenter pour que cette probabilité soit égale à /'.est donné par l'équation
î — (i — /?)*= r, d'où
lix-p)
Cette valeur de k n'est pas, en général, un nombre entier. Pour un nombre d'épreuves plus petit que A", la probabilité de voir une boule blanche sortir sera moindre que r; elle surpassera r si le nombre des épreuves est plus grand que A*.
Le chevalier de Méré se scandalisait de ne pas voir k inversement proportionnel à p,
« Pourquoi, disait-il, pour p = ^^^ k n'est-îl pas six fois plus grand que pour/? = |? w
La formule (i) sert de réponse pour les géomètres; elle montre que, pour de petites valeurs de /?, la proportionnalité supposée par de Méré s'éloigne peu de la vérité.
On a, en effet,
Si p est très petit, on peut supposer
Le nombre k des épreuves est donc, à très peu près, pour une
valeur donnée de r, proportionnel à —, pourvu que p soit très petit.
CHAP. I. — ÉNUMÉRATION DES CHANCES. l3
On a, en supposant les logarithmes népériens, ce qui est permis dans la formule (i), dont cela ne change pas les rapports,
l Yq = — lio = — 2,3o23,
Ij^ — — iioo = — 4,6o5i, ^TôVô =— ^1000 =—6,9077, l ioooo =— ^loooo — — 9,210.
La formule (i) donne donc les théorèmes suivants : Si un événement a pour probabilité |^, N étant assez grand pour qu'on puisse négliger ^^ et prendre — ^ pourle logarithme népérien de i — ^ > le nombre des épreuves qu'il faut tenter pour
acquérir les probabilités ^,5,1;^, rà, rHôy Tïïïïïïïï ^^ voir Tévénement se produire au moins une fois est :
Pour la probabilité j 0,69 N
»• yq 2 , 3o25 N
lOUOU 9,210i>
On peut s'expliquer sans calcul comment, avec le nombre des épreuves, la probabilité s'accroît pour devenir rapidement une quasi-certitude.
Le chevalier de Méré aurait accepté sans étonnement le premier chiffre du Tableau. Il y a chance égale, il l'avait reconnu, pour que sonnez, dont la probabilité est jg, arrive ou n'arrive pas en 24 coups, environ. 24 est les | de 36, comme 0,69 N est, à peu près, les I de N.
La proportion n'est pas exacte, mais approchée.
Quand le nombre des épreuves est 9,2N, on peut le partager
:w~-. îtf* îioa.iîiLtTte.
ijN v.'bji:uu. Celui qui a parii; po
■■•^itiaiKaï iaf :o-t* ju moiDâ en 9,2,> coup
iestiiaii?
; ■:$ :-Dt *■'•! -iZlii idva.ii ù renouveler quatorze fois utw fi: Ii.aErr vc.'i:-Jibi[itè égale pour gagner ou pour perdre. ■.■!!■ Tia-i i^Tii'f £\>i> l'arrivt'e de l'cvénemenl csl, pour lu»,
«nt^wLdabti.* i[ue de perdre quatorze fois de suite îi pile
Uî. l'ROHLÊuii: I\. — Quelle cxt lu probiibilité pour 'jurn lîftnt it /loulfx 'II' suite dans une urne qui en contient -j-, niar- •l'iti's I, ■«, ;î, . . . , [JL, ri remeliant la boule sortie après rltm/uc tirage, k numéros tlési^aés soient sortis nu moins une /ois'.'
Lorsque k est égal à i , un seul numéro étant désigné, le n-jiubre des eombinuisons qui le contiennent est
Il faut, en cfl'cl, retranclier du nombre total des couiliinai^nns, •j.", le nombre des combinaisons (pii restent possibles quand le numéro désigné est laissé en deliors.
Pour avoir le nombre des combinaisons qui conliennoiil deux numéros désignés, il faut retrancbcr de (() le nombre de* combinaisons qui, ne oonteuant pas le second, contiennent lo premier; rc nombre csl donii-'- par la même formule, dans laquelle ;ji est remplacé par -x — i,
I.e nombro des Oi.>m lunaison s qui contiennent une ou plusieurs f.iis dou\ numéros dvsiirnos est donc
Pour av>^;r le- nombre dos combinaisons qui contiennont trois v.-.iHitT.^s .ii>;inis. î; :^»hi. Je \'. retrancher le nombre des coml-inaisoRS .j;-.!. ne .•i^ien^»! pas K- tii'isicnif. contiennent les deux prcniii^rs. Ce n.imliTV s'olliont en rempLt;ant dans 1 3) ;/. par
CHAP. I. — ÉNUMÉRATION DES CHAlVCES. l5
Le nombre des combinaisons qui contiennent une ou plusieurs fois trois numéros désignés est
(i) [1" — 3({i--i)«-h3([i — a)«-(fji— 3)«.
La méthode est générale. Le nombre des combinaisons qui contiennent k numéros désignés est
tJl« — Â- ( (JL — I )«-!- — ^^ ( {X — 2)« . . . liz ( «JL — A- )«.
En divisant ce nombre par [jl", nombre des combinaisons possibles, on aura la probabilité demandée.
Si l'on suppose k = jx, on aura la probabilité pour que/^ tirages fassent sortir tous les numéros
La suite contient [jl -p i termes.
Si /2 et {ji sont grands, on a approximativement
Ces formules d'approximation sont applicables aux premiers termes de (5); les autres sont négligeables, et l'on peut représenter approximativement la probabilité pour que tous les numéros soient sortis en n tirages par
