I.APL\..E
» ic ^»ï\>blèincs isolés ne font pas une Uicorie. — 23. Thcorènic
. . . '. it.iuK's. - 2i. Probabilités composées. — 25. Cas où le premier
> luo sur la probabilité du second. - 20. Les théorèmes ne sont
. « ;.iv'-iaus les cas pour lesquels la probabilité est déliuie; on compléli^
. ..•.-«. Les théorèmes deviennent généraux. - 27. Erreur commise
i.vTu' du tir à la cible. — 2?^. — Erreur commise dans la théorie dos
.• îticur commise dans l'appréciation des pronostics sur le temps. —
• .'.viiic ivlutif aux tirages faits dans une urne. Fausseté d'un raisonnc-
»4 «;»paifnce très plausible. — 31. Probabilité du brelan au jeu de la
. ..*■ - ;12. Avantage du banquier au jeu de trentc-el-quaranle. -
. ..JVN '.ur le jeu du baccarat. — 3'i. Prfd)Ièmc de la poule.
^>î 1 a si»liilioii des problèmes précédents n'a pas exigé de
.. :K;pv'N nouveaux. Le compte des cas favorables rapproché de
v.-.i d^-'» i*iiî> j)0.ssibles appartient à la théorie des combinaisons.
! îfj^v'nicux et bizarre Cardan, bon géomètre el grand ami des
!v X. connaissait pour chaque coup le nombre exact des chances;
; 1 puldié sans devenir, pour cela, Tinventeur de la science du
\ no '41'ience doit enchaîner les cas simples aux cas composés oi ivpoM'r sur des principes. Ceux du Calcul des probabilités sont .ui'«'»i simples que féconds.
Deux théorèmes fondamentaux rencontrent des applications à chaque page pour ainsi dire de la théorie des chances. Nous les démontrerons d'abord dans les cas où la probabilité a été définie. L'étude des autres cas ne peut précéder, évidemment, la définition du sens exact attaché aux mots qui y figurent.
23. Probabilités totales. — La probabilité d'un événement étant, par définition, le rapport du nombre des cas favorables à celui des cas possibles, si l'on partage les cas favorables en plusieurs groupes, la probabilité de l'événement sera la somme des probabilités pour quil appartienne à chacun des groupes. On ajoute en effet les fractions de même dénominateur en ajoutant les numérateurs.
La probabilité d'amener avec trois dés une somme de points supérieure à i/\ est la somme des probabilités pour obtenir i5, iG, 17 ou 18.
Le choix des groupes est arbitraire, sous la seule condition, bien entendu, dy enfermer tous les cas possibles sans qu'aucun s'y rencontre deux fois.
Si, par exemple, pour calculer la probabilité d'amener sonnez une fois au moins en ^o coups, on faisait la somme des probabilités calculées pour chaque coup, on appliquerait mal le principe. Le sonnez obtenu à un coup n'empêche pas celui du coup suivant^ on compterait vingt fois, de cette manière, la série de coups dans laquelle sonnez arrive vingt fois.
La probabilité d'amener avec deux dés le point 3 ou le point 4 n'est jjas la somme de la probabilité pour amener 3 et de celle pour amener 4« On peut, en effet, les amener tous deux; et le point 3 et 4, compté une première fois comme contenant 3, ne doit pas Têtre une seconde comme contenant 4*
24. Probabilités composées. — Un événement composé est. défini par le concours de plusieurs événements simples que le hasard doit amener successivement ou simultanément. Le nombre N des cas possibles, lorsque les événements simples sont indépendants, est le produit (A| [Aj . . • [a;^ des nombres de cas possibles dans cha-
a6 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Clin d'eux, chaque cas de l'un des groupes pouvant s'associer avec tous les cas des autres groupes. Le nombre des cas favorables su concours des événements simples dont la réunion forme Tévénement composé est, par une raison semblable, le produit des nombres de cas mi, m 2, ..., m* favorables à l'arrivée de chacun d'eux.
La probabilité de l'événement composé est donc
/Wj /WJ/H3. . ./Wjt
= fë)(l')-(S)^
JXl [Xj |l3 . . . |XAr
c'est le produit des probabilités des événements simples.
25. La probabilité d'un événement composé est le produit des probabilités des événements simples dont il exige la réunion . Un cas doit être prévu, c'est celui où la probabilité du second événement est influencée par la manière dont se produit le premier. Si, par exemple, une urne contient deux boules blanches et deux boules noires, quelle est la probabilité, en tirant deux boules de suite sans les remettre dans l'urne, pour obtenir les deux boules blanches? La probabilité d'en obtenir une au premier tirage est^^ mais au second, elle est douteuse : égale à | si le premier tirage a enlevé une boule noire, elle sera ^ seulement si la boule disparue est blanche. Quelle est celle de ces deux fractions qui doit servir de multiplicateur? C'est la seconde, évidemment. Dans le premier des deux cas supposés, l'événement demandé est devenu impossible. Peu importe la probabilité des épreuves qui viennent ensuite.
La probabilité d'un événement composé est le produit de la probabilité du premier événement par la probabilité qu'acquiert le second quand on sait que le premier est arrivé.
On a souvent commis des erreurs graves en oubliant les derniers mots de cet énoncé.
26. Les deux théorèmes précédents sont et doivent être incomplètement démontrés. La probabilité, en efiet, n'a été définie que pour une classe très restreinte d'événements. Il en existe d'autres,
incertains comme eux, dans lesquels Ténuméralion des cas ne peut rien apprendre. Les principes leur sont-ils applicables? Sont-ils dès à présent démontrés pour eux?
Les principes sont applicables.
Ils ne sont pas encore démontrés. Comment le seraient-ils? Les probabilités dont ils donnent la mesure n^ont pas même été dé- Gnies.
Quelle est la probabilité pour que la Seine soit gelée à Paris dans. le courant de Tannée iggS?
Pour qu'un médecin appelé près d'un malade sache découvrir la nature, la cause et le remède du mal?
Pour qu'un homme âgé de quarante ans, aujourd'hui bien portanty atteigne Tâge de soixante ans?
Il faut compléter la définition ; tous ces cas lui échappent.
La probabilité d'un événement, quelle qu'en soit la nature, est dite égale à une fraction donnée /?, lorsque celui qui attend l'événement pourrait échanger indifféremment les craintes ou les espérances, les avantages ou les inconvénients attachés à l'arrivée de cet événement contre les conséquences supposées identiques delà sortie d'une boule puisée dans une urne dont la composition fait naître une probabilité égale à p.
Comment, dans des cas tels que ceux qu'on a cités, justifier une telle assimilation? Ce n'est pas en ce moment la question. Si l'assimilation est impossible, on ne la fera pas. Si on la fait, il faudra la justifier.
La définition, dans les deux cas, reste irréprochable.
Lorsque l'assimilation sera faite et justifiée, on en acceptera les ' conséquences.
On aura le droit de dire, par exemple :
Si, après avoir appelé un médecin, on évalue à -j^ la probabilité pour qu'il vienne et à ^ la probabilité pour qu'il procure, s'il vient, la guérison du malade; sans discuter ces chiffres, celui qui les admet peut ajouter : La probabilité pour que le malade soit visité et giiéri par le médecin esiy pour moi,
Ii8 CALCUL DES PROBABILITES.
Celui qui accepte, en effet, les probabilités -nj et ^ est, par définition, dans le même doute que si, en présence de dix urnes indiscernables dont neuf renferment une boule blanche et deux boules noires, il cherchait la probabilité pour mettre la main sur l'une des neuf urnes dont la composition est connue et en tirer uAe boule blanche. L'identité des deux problèmes est admise-, elle fait partie de l'énoncé. Si on allègue l'impossibilité de mesurer en chiffres les probabilités dont nous parlons, l'objection serait aussi peu fondée que si, évaluant la longueur d'un champ d'apparence rectangulaire à 3oo™ et la largeur à loo", on contestait le droit d'ajouter, indépendamment de toute vérification, ces mesures, si douteuses qu'elles soient, et ces appréciations assignent au champ une surface de trois hectares.
La règle des probabilités totales et celle des probabilités composées s'appliqueront à toutes les combinaisons de probabilités simples supposées évaluées en nombres. L'évaluation sera plus ou moins judicieuse, plus ou moins justifiée, les conséquences vaudront ce qu'elle vaut elle-même, mais sans introduire aucun doute nouveau.
Les précautions prescrites dans l'application des deux principes sont indispensables, bien entendu, quand on les transporte aux cas nouveaux.
Il ne faudrait pas dire, par exemple :
La probabilité pour que la Seine soit gelée à Paris en 1995 est la somme des probabilités pour qu'elle soit gelée pendant chacun des mois qui composent l'année.
Elle peut geler, en effet, en plusieurs mois différents, et (23) l'application du principe des probabilités totales n'est pas permise.
Si l'on a évalué la probabilité pour qu'il gèle demain à ^, celle pour qu'il tombe de la neige à j, la probabilité pour voir à la fois de la glace et de la neige n'est pas j^, La gelée en effet, si elle se présente, change la probabilité de la neige.
Nous citerons trois exemples intéressants d'erreurs commises par l'oubli de ces conditions nécessaires dans l'énoncé des principes.
27. Problème XVI. — On tire à la cible, Llarme, sans être parfaite, ne présente aucun défaut systématique ; les déviations ont en tous sens même probabilité. L^ hypothèse est-elle
réalisable? On le suppose.
Quelle est la probabilité pour que le point Jrappé soit à une distance du but comprise entre r et r -\- dri
Les données sont insuffisantes, cela semble évident. On a résolu cependant le problème par une fausse application des principes.
Rapportons le point où frappe la balle à deux axes de coordonnées ayant pour origine le centre de la cible, c'est-à-dire le point que l'on veut atteindre. Soient '^[x) dx la probabilité inconnue pour que l'abscisse du point frappé tombe entre ^ et :r + dx^ z[y)dy \di probabilité pour que l'ordonnée tombe entre y et Y 4- dy, La probabilité pour que la balle frappe le rectangle dx dy, dont les coordonnées sont x et r, est, d'après le principe des probabilités composées,
o{T)o{y)dxdy,
Cette probabilité, d'après notre hypothèse, ne doit dépendre que de la distance du point frappé à l'origine, et l'on doit avoir
Cette équation suffit pour déterminer la fonction îp. On en déduit, en prenant les dérivées successivement par rapport à x et à y^
La fraction • est par conséquent constante, et l'on en con-
clut que la fonction o(x), qui doit s'annuler quand x est infini, est de la forme
Ce résultat, fort remarquable, n'est pas, malheureusement, acceptable.
La connaissance de la valeur de x changerait, en efTet, la probabilité de celle de y et le facteur par lequel il faudrait multiplier
3o CALCUL DES PROBABILITÉS.
<f{x)dx^ pour obtenir la probabilité d'un écart j^ dans un sens, associé à un écart x dans l'autre, serait une fonction inconnue de X et de j', très différente peut-être de f (jk)*
La déviation de la balle dépend, en effet, du soin plus ou nioiis grand et plus ou moins habile avec lequel le coup a été préparé. Si l'on a réussi sous un certain point de vue, il y a plus de chances pour que le coup soit bon et que tous les écarts soient petits en même temps. La démonstration précédente ne tient aucun compte de cette remarque ; les probabilités y sont traitées comme indépendantes.
28. Un physicien justement célèbre, Maxwell, a proposé dans l'étude des gaz un raisonnement dont l'illusion est semblable.
Les molécules d'un gaz, suivant une théorie que nous n'avons pas à discuter, se meuvent en tous sens avec de grandes vitesses. Les directions sont réglées parle hasard aussi bien que les vitesses, mais toutes les vitesses ne sont pas également probables; la vitesse maxima et la vitesse moyenne varient avec la température. C'est la probabilité pour qu'une molécule ait une vitesse donnée qu'on espère découvrir, sans introduire d'autres conditions.
Soit o{x) la probabilité pour que la composante parallèle à Taxe des X de la vitesse d'une molécule prise au hasard soit x, La probabilité pour que les trois composantes soient x, y, z parallèlement aux trois axes sera, d'après le théorème des probabilités composées, proportionnelle à
Mais la probabilité pour qu'une molécule ait une vitesse donnée, sans que Ton indique dans quel sens, doit être une fonction de cette vitesse, puisque toutes les directions sont supposées également possibles. On doit donc avoir
et cette condition suffit pour déterminer la forme de la fonction ç. On en déduit, comme (27),
CHAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 3i
La démon stra lion n^est pas acceptable. Le principe des probabilités composées n'a pas été correctement appliqué. Si la composante de la vitesse d'une molécule parallèlement à Taxe des X est j:;, la valeur de x supposée connue influe sur la probabilité pour que la vitesse composée parallèlement à Taxe des Y soit i'. Si, par exemple, X est égal à la vitesse maxima, le mouvement est certainement dirigé parallèlement à Taxe des X, et la probabilité de^ est nulle.
La conclusion obtenue, indépendamment des objections que la théorie peut faire naître, ne mérite donc aucune confiance.
29. On pourrait multiplier les exemples; nous en citerons un troisième :
Un météorologiste annonce chaque soir le temps qu'il fera le lendemain. La probabilité pour qu'il pronostique juste est supposée égale à/?.
Un second observateur fait, de son côté, des prédictions dont Texactitude a pour probabilité />'.
Les deux observateurs s'acccordent pour prédire qu'il pleuvra demain. Quelle est la probabilité pour qu'ils se trompent tous les deux?
La probabilité pour que le premier se trompe est i — p,
La probabilité pour que le second se trompe est i — p' .
La probabilité pour qu'ils se trompent tous les deux est une probabilité composée, mais elle n'est pas mesurée par le produit
La probabilité composée est le produit de (i — p) parla probabilité pour que le second observateur se trompe, quand on sait que le premier a fait un faux pronostic.
Les données du problème laissent cette probabilité complètement inconnue.
Si les deux observateurs ont reçu les mêmes leçons, s'ils ont adopté les mêmes principes, en présence des mêmes faits ils porteront le même jugement. Si l'un se trompe, l'autre se trompera aussi^ le second facteur du produit sera l'unité. L'accord certain des deux prédictions ne diminue pas la chance d'erreur.
3î>. CALCUL DES PIVOBABILITÉS.
Si les deux méthodes sont différentes, les conclusions pourront Têlre aussi, sans pour cela devenir indépendantes. Certains symptômes sont nécessairement apprécies de la même manière, et leur nombre inconnu laisse le problème insoluble.
Si l'un des météréologistes annonce qu'il pleuvra, l'autre qu'il ne pleuvra pas, la probabilité pour qu'ils disent juste tous deux n'est pas /?/?' : elle est nulle.
30. Problème XVI. — Une urne contient trois boules marquées 1 , 2 <*/ 3. On en tire deux successivement , en remettant dans l'urne, après le premier tirage, la boule qui en est sortie.
Quelle est la probabilité pour que le plus grand numéro sorti soit 2?
Pour que 2 soit le plus grand des numéros sortis, il faut que 3 ne se soit pas montré et que l'on n'ait pas tiré deux fois le n** i .
Pour qu'à l'une des épreuves 3 ne sorte pas, la probabilité est |. Pour qu'il ne sorte ni au premier ni au second tirage, elle est |. Pour que i sorte deux fois, la probabilité est ^; | est par conséquent la probabilité pour qu'il ne sorte pas à l'un et l'autre tirage.
L'événement demandé semble donc composé de deux autres
dont les probabilités sont ^ et f; il ne faut pas cependant faire le produit de ces deux fractions. Il faut (25) multiplier ^ par la probabilité pour que 1 ne sorte pas deux fois, lorsque l'on sait que 3 n 'est pas sorti. Cette probabilité est | ; le numéro 3 étant écarté, il n'en reste en effet que deux. La probabilité pour que 1 sorte est ^, pour qu'il sorte deux fois {, et pour qu'il ne sorte pas deux fois, par conséquent, elle est f .
La probabilité demandée est
On aurait pu dire : Pour que le plus grand des numéros sortis soit 2, il faut que 2 soit sorti et que 3 ne le soit pas.
La probabilité de n'amener 2 à aucune des deux épreuves est ^, celle de l'amener une fois au moins est, par conséquent, |.
La probabilité | doit être multipliée par la probabilité de ne pas amener 3, sachant que 2 est sorti.
Si 2 est sorti au premier tirage, la probabilité de ne pas amener 3 au second est |.
Si a est sorti au second tirage, la probabilité de ne pas avoir amené 3 au premier est |. Acceptons donc cette probabilité | qui convient aux deux cas, nous trouverons pour la probabilité demandée
Le désaccord avec le résultat précédent est un avertissement. Il n'était pas permis, comme nous l'avons fait, de partager la sortie supposée de 2 en deux cas distincts et de supposer successivement 2 sorti à la première ou à la seconde épreuve. Il a pu sortir à toutes deux; notre calcul fait entrer deux fois en compte le cas où les deux tirages auraient, l'un et l'autre, amené le point 2.
31. Problème XVII. — Probabilité des brelans au jeu de la bouillotte.
La bouillotte se joue avec vingt cartes. On enlève d'un jeu de trente-deux cartes les sept, les valets et les dix.
Chacun des quatre joueurs reçoit trois cartes. On retourne la treizième.
Un joueur a brelan lorsque ses trois cartes sont de même espèce, trois rois, trois as, etc. Il a brelan carré lorsque toutes trois sont de même espèce que la retourne.
Soit Pi la probabilité pour que i joueurs désignés aient des brelans. On déduit du théorème des probabilités composées
ao . 3 . 2 , -
Pk — Pz = o , 0000006598 1 .
On peut avoir brelan en effet quelle que soit la première carte; la probabilité pour avoir une première carie est j|, celle pour que la deuxième soit de même espèce que la première est -j^, et pour que la troisième soit de même espèce que les deux autres la probabilité est ^j^.
Cette probabilité p^ calculée pour un premier joueur à qui Ton donnerait trois cartes, sans s'occuper des autres, convient à l'un quelconque des trois, car la manière de distribuer les cartes est indifférente.
Lorsqu'un premier joueur a brelan, la probabilité pour qu'un second l'ait aussi est changée. Il faut d'abord que la première carte rende le brelan possible. La probabilité est {y, car elle ne doit pas être celle qui complète le brelan déjà fait; pour que la deuxième carte soit pareille à la première, la probabilité est j^^ et pour que la troisième soit pareille aux deux autres elle est •^.
On en conclut
les autres formules se démontrent de la même manière.
/?j, ^2? /?3j Ph sont des probabilités totales. Si l'on représente par TSi la probabilité pour que i joueurs désignés aient des brelans et qu'ils soient seuls à en avoir, on aura les relations
( jDj = njj -4- Snjî-h 3nyj-4- Wt.
Il est clair, en effet, que la probabilité pour qu'un joueur ait brelan se compose de la probabilité xs^ pour qu'il l'ait seul, de la probabifité 3tïï2 pour qu'il l'ait en même temps que l'un ou l'autre de ses adversaires, de la probabilité ixs^ pour qu'il l'ait avec deux d'entre eux, ce qui fait trois cas, et de la probabilité m^ pour que les quatre joueurs aient brelan.
On déduit des équations (i)
^i=Pi— 3/?î -T- 3/?a — Pk
et, par conséquent,
nj4 = 0,000000659,
TÏJ3— 0,000012948^
