CT
nji = 0,016345764.
La probabilité pour qu'il n'y ait aucun brelan est
Q = (i-R,)(i-RO(i-R3)(i-R4),
R/ étant la probabilité d'avoir brelan pour le joueur de rang i quand les précédents n'en ont pas.
On a évidemment
R4=nTj, R3 = CTj -f- tîJj, Rj = CTi -4- 2TïJj-f- Wj,
Rj = CTi-h SnJj-i- 3nT3-i- TÏJ4,
La probabilité R4 pour que le quatrième joueur ait brelan, les autres ne l'ayant pas, ne diffère pas en effet de Wt,
R3, probabilité pour que le troisième joueur ait brelan, les deux premiers ne l'ayant pas, est une probabilité totale. II peut avoir brelan tout seul, la probabilité est TU4; ou l'avoir en même temps que le quatrième joueur, la probabilité est TU2. Les autres formules se justifient par des raisons semblables.
On en conclut
Ri = joi= 0,017544,
R,=:j5l — /?,= 0,OI7l3l2, Rj= jDj— 2/?i-H/?3= 0,016732,
32. Problème XVIIL — Quelle est la probabilité de la chance favorable réservée au banquier dans le jeu de trente et quarante?
Le jeu de trente et quarante se joue avec un grand nombre de cartes, réunion de divers jeux complets mêlés en un seul, bien entendu.
On abal une à une assez de caries pour obtenir une somme de points supérieure à 3o, les figures étant comptées pour lo et les autres cartes pour le nombre des points qui s^y trouvent marqués.
Une seconde épreuve suit la première.
Le hasard donne ainsi deux sommes toutes deux plus grandes que 3o et égales au plus à 4o.
Le joueur parie pour celle des deux sommes qu'il choisit et gagne si elle est plus grande que l'autre.
Si les sommes sont égales, le coup est nul. Un seul cas est excepté, celui où Ton a deux fois 3i .
Ce refait de 3i est le seul avantage réservé au banquier; il a droit, dans ce cas, à la moitié des mises.
Nous supposerons le nombre des cartes assez grand pour que, pendant les deux premiers tirages, on puisse négliger l'influence des cartes sorties sur les probabilités des divers points. S'il y a huit jeux, par exemple, et par conséquent trente-deux sept, la sortie d'un sept diminue la probabilité d'en voir sortir un second. Il serait difficile de dire quelles sont les cartes dont la sortie accroît ou diminue la probabilité du refait de 3i. Nous négligerons cette très petite Influence.
Soit P/t la probabilité pour que, en abattant successivement les cartes, la somme prenne à un certain moment la valeur n,
La somme i ne peut se produire qu'au premier coup, si l'on abat un as. La probabilité pour cela est ~; on a
La somme 2 peut se produire de deux manières : 2 au premier coup; as au premier, as au second. On a
^'=ii^-ki = -h{'^Ti)
La somme 3 peut se produire de trois manières : 3 au premier coup; passer par la somme 2 obtenue en une ou en deux fois et la faire suivre d'un as; commencer par un as, puis amener un 2.
On en déduit
On a, en général, tant que n est inférieur à lo,
^"^ T3 "^ Tî ^^"^ 73 ^*'^- • "^ 73 ^''-»-
On trouve ainsi
Pi = 0,076927,
A partir du point lo, les conditions changent; quatre cartes différentes^ en effet, les dix et les trois figures, peuvent amener dix points. On a
Pio=4-+-47(Pi+P«+P3H-...^-P») = o,38o64i.
Au-dessus de n = lo, la formule évidente
P/i == T^ ( P/i— 1 ~+" Prt-t -+-... -H P/i-9 ) H 7 P//-10
P,, = 0,120218, P2Î= O, l426fo.
Pi, = O, 124908, Pî3 = O , 145089,
Pis = 0, 129618, P,i ^ O, i4736i, Pu = o,i343o4, P,5= 0,149543, Pu = o, 189898, P,6 = o , i5i 192,
Pl8= 0,143167, P,7 = 0,132728, Pl7= 0,1^7143, Pî8= 0,154272,
Pis = 0, 151978, P,9= o,i55382, Pi9 = o, 1 56o2 1 . P30 = o ,168488,
PtO= 0,2l302i, P31 = 0,148218.
Pfi = o, 140033,
donne
L^toicc Je lecture difficile, a trouvé, poui tivbtkbîlité du refait de 3i ,
1 .,,.. .*>.., >,i Jt i'iiiUueiice des cartes déjà passées sur la prov,,».:»:^' iv ivÀici i^ui ■iuiveiil et suppose huit jeux réunis. L'iniL.u.v' >.vi vs'îUc. <>H le voit par la concordance du résultat exact ,iii ^.t\u'. nu l'tt sujiposant le nombre des jeux infini avec le ré- X.;,-»; Af'^vtxK'ho df l'auli-e.
U «s- t4«l J*as croire que l'influence augmente lorsque, le jeu ^v»iil«w«aHl, !<■* caries deviennent moins nombreuses. Il s'agît, s-w l'ft'ot, de calculer l'avantage du banquier et non son bénéfice, \.in^lilc avec le hasard des coups. Le calcul doit être fait avant ituc )u prcniiiïre carte soit abattue; si l'on doit, avant d'épuîser les liiiil jou^, faire cinquante tailles, les probabilités de la cinquanlitanie sont, à ce moment, identiquement les mêmes que celles de lu première.
Les cartes sorties n'auraient d'influence que si un joueur avait assez de mémoire pour se les rappeler toutes, et assez d'habilelé pour calculer en quelques secondes leur infiucnce sur la probabilité d'un refait. Le mérite serait grand, l'avantage bien petit.
33. Pnoni.kMKXlV. — Ext-H a^-antageux pour le ponic ou pour le bniujiiier de demander une carte au jeu du baccarat quand il a le point 5?
L'élude mathématique du jeu de baccarat est compliquée par la nécessité d'énumércr les cas, toujours nombreux, en faisant pour dinciin un petitcalcul.
Le ])onte reçoit deus cartes, le banquier en prend deux. Le ponte a droit de demander une carte qui s'adjoint aux deux premic'res, on de s'v tenir en gardant son jeu.
Le banquier a les mêmes droits, mais il a Tavantage, avant de prendre sa décision, de savoir si Tadversaire a demandé une carte et de connaître celle qu'il a reçue.
Chaque carte vaut, comme au trente et quarante, le nombre des points marqués sur elle. Les figures valent lo. Le gagnant est celui qui a le point le plus fort, les chiffres des dizaines ne comptant dans aucun cas : ii vaut i; 12 vaut 2; 28, si l'on a trois cartes, vaut 3.
Le jeu se termine immédiatement si l'un des joueurs reçoit, quand on donne les cartes, Tun des points 8 ou g. Il abat et gagne si l'adversaire n'a pas un point meilleur. Dans ce cas, il n'est pas donné de cartes nouvelles.
Tous les points, à l'exception de 10 (ou zéro) ont même probabilité quand on donne les cartes : la probabilité de 10 est j^^- o, 1479» celle de chacun des autres -^ = 0,09467. La démonstration ne présente aucune difficulté.
Quand un joueur demande une carte, quel que soit le point qu'il ait, il a probabilité jj de le conserver en recevant un dix et probabilité -^ de le changer pour un quelconque des autres points, qui deviennent tous également probables.
Nous traiterons une seule question.
Lorsque le ponte a reçu le point 5, est-il avantageux pour lui de demander une carte?
Il faut résoudre quatre problèmes :
Le ponte ayant 5 et ne demandant pas de carte, quelle est pour lui la probabilité de gagner et quelle est celle de faire coup nul, lorsque le banquier, ignorant qu'il a le point 5, sait qu'il a l'habitude, quand il a ce point, de ne pas demander de carte?
Le ponte ayant 5 et ne demandant pas de carte, quelles sont pour lui les probabilités de gagner ou de faire coup nul, lorsque le banquier, ignorant qu'il a le point 5, croit qu'il a l'habitude, quand il a ce point, de demander une carte?
Le ponte ayant 5 et demandant une carte, quelles sont pour lui les probabilités de gagner ou de faire coup nul, lorsque le banquier connaît son habitude de demander une carte dans
40 CALCUL DES PnOBItOILITÉS.
celte circonstance ou lorsqu'il croît savoir qu'il n'en demande
Résolvons le premier problème.
Le ponle a 5, Le banquier l'ignore. Ea le voyant s'y tenir, il apprend qu'il a 5, 6 ou ^. Ces trois cas ont chacun pour probabilité ^. Huit suppositions peuvent être faîtes : le banquier peut avoir o, i a, 3, 4) 5, 6 ou -. Les probabilités des huit bypotbèses étaient ~f pour le point o et 5^ pour les autres, au moment où les carte:) ont été données. Mais on n'a pas abattu; les points S et g ne sont plus possibles. Les probabilités deviennent
et
Que fera le banquier? S'il an, i, a, 3, .i, îl prendra une carte.
Il pourra hésiter s'il a 5 ou 6, et îl faut résoudre cette question incidente : Dans les circonstances supposées, c'esl-à-dire le ponle s'y étant tenu et ayant l'habitude de ne pas tirer à 5, le banquie: doit-il lirer à 6? doîl-il tirer à 5?
Nous ferons le calcul pour le cas où le banquier a le point fi: il se compose de deux autres :
Quelle est la probabilité de gagner pour le banquier qui, ayant 6, demande une carte dans les conditions supposées?
Quelle est la probabilité s'il ne demande pas de carte?
Si le banquier ne tire pas ayant 6, il a probabilité i de perdre le ponte ayant 7, y de gagner le ponte ayant 5, | de faire coup n
Si le banquier, ayant 6, demande une carte, îl acquiert la probabilité j^ d'avoir chacun des neuf points autres que 6 el ^ d'avoir celui-là.
La probabilité de perdre contre l'udversoire dont le point est 5, 6 ou 7 doii s'évaluer par l'énuméralion des cas ;
lia la probabilité ^ de perdre avec les points u, t, a, 3, 4> la probabilité ~ pour avoir, avec le point 5, probabilité ; de faire coup nul et^ de perdre; la probabilité ~ pour avoir, avec l*
WP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. ^l
jf probabilité -j de gagner, { de faire coup nul et ^ de perdre ; otbilité "5^ pour acquérir, avec le point 7, probabilité | de gajperi \ de faire coup nul; probabilité j^^ enfin, de gagner avec le f jtàai 8 ou avec le point 9.
La probabilité de gagner est, d'après cette énumération,
celle de faire coup nul
73 3 "^ 73 3 "^ T3 :i ~" Ti
La probabilité de gagner était ^; elle devient ^ : elle a diminué.
Celle de faire coup nul a également diminué ; le banquier, dans les conditions supposées, ne doit pas tirer à 6.
Un calcul fondé sur les mêmes principes et tout aussi facile montre que, dans les conditions supposées, le banquier doit tirer à 5.
Sans énumérerles cas possibles, qui deviennent plus nombreux quand le ponte a reçu une carte supposée connue, nous nous bornerons à donner les résultats.
Le ponte se tient à 5, le banquier sachant qu'il a cette habitude.
Le sort du ponte qui a 5 est le suivant :
Probabilité de gagner 0,444^94
» de faire coup nul. 0,085907 » de perdre 0,469400
Le ponte qui a 5 demande une carte, le banquier sait que telle est son habitude.
Le sort du ponte qui a 5 est le suivant :
Probabilité de gagner o, 444348
» de faire coup nul. 0,120935 » de perdre 0,434717
Tels sont les résultats du calcul lorsque le ponte ne cherche pas à tromper le banquier sur ses habitudes.
Si le ponte qui a 5 s'y tient, faisant croire au banquier qu'il a l'habitude de demander des cartes, le sort est le suivant :
Probabilité de gagner 0,4^9612
» de faire coup nul. 0,094890 » de perdre o,4i5497
Si le ponte, ayant 5, demande une carte en faisant croire au banquier qu'il a l'habitude de s'y tenir, son sort est le suivant :
Probabilité de gagner 0,4471 13
» de faire coup nul. o, 126463 » de perdre o, 4^6424
L'étude n'est pas complète. Si le banquier ignore ce que fait le ponte quand il a 5, doit-il tirer à 6? Quelle est, dans cette indécision, la chance du ponte qui a 5?
11 est impossible de la calculer : elle dépend de la chance qu'il y a, quand il aura pris son parti, pour que le banquier se trompe ou devine juste en se demandant ce qu'il fait quand il a 5.
En résumé, le ponte doit-il se tenir à 5, doit-il tirer?
Si, sans jouer au plus (in, dès le début de la partie, il déclare franchement ses habitudes, il doit tirer à 5.
Si les conventions du jeu permettent la ruse, il doit se tenir à 5, en faisant croire au banquier, s'il le peut, qu'il a l'habitude de tirer.
3i. Problème XX. — n-\-i joueurs 2^.^^ Aj, ..., A„^i jouent aux conditions suii^antes : A| et A2 jouent une première partie ; Ai remplace le perdant ; A4, A5, ... luttent successivement contre le perdant de la partie précédente, La poule continue ainsi j'usqu^à ce qu^un j'oueur ait gagné successii^ement tous les autres, et par conséquent n parties de suite. Quelle est la probabilité pour que la partie se termine au coup de rang xf
Le joueur qui gagne la poule au coup de rang x est entré au jeu au coup de rang x — /i -f- 1 ; il a gagné ce coup et les n — i suivants. On peut partager cette hypothèse en ai — i autres, en distinguant les cas d'après le nombre des parties gagnées par l'adversaire du joueur dont nous parlons au moment où celui-ci est entré au jeu.
Soit p\ la probabilité pour que ce premier adversaire ait gagné une seule partie, la probabilité pour que cette hypothèse se présente et fasse gagner la poule au coup de rang x est
mais on a évidemment
yx-i = /'J j;pï
Car, si la partie se termine au coup de rang x — i , le joueur qui la gagne avait une partie gagnée déjà au coup de rang x — /i -h I , et il en a ensuite gagné n — i sans interruption.
La probabilité pour que la poule se termine au coup de rang x^ le joueur qui la gagne ayant rencontré d'abord un adversaire qui n'avait gagné qu'une seule partie, est, d'après cela,
Soit p^ la probabilité pour que le gagnant de la poule au coup de rang x ait eu pour premier adversaire un joueur ayant gagné deux parties déjà, le terme correspondant de la valeur de y'x sera
On a, évidemment,
par conséquent,
J'or-J - />s j;^ ;
est le second terme de la valeur de^x-
Le t^ttlsouDemeut successivement appliqué à chacun des cas dor^ucrii
Ou a> évideminenl,
LViiuaùon (i)y à Taide de ces données initiales, fera connaître i^ |*owr ^ :--:/» 4- I et pour les valeurs suivantes.
35, Nous donnerons, pour terminer ce Chapitre, l'énoncé de uuf Iques problèmes empruntés pour la plupart à Moivre et dont U Holution est facile.
PnuitkMRXXI. — Probabilité pour obtenir une /ois le point i, (*/ une /ois seulement, en jetant quatre dés.
iU9b '
PiioBLÈME XXII. — Pierre parie que, en jetant cinq dés, ii obtiendra une /ois le point i et pas davantage. Quelle est la probabilité de gagner?
PiiODLÈME XXIII. — Quelle est la probabilité pour que, sur cent essais successi/s avec un seul dé, on obtienne une /ois au moins une succession de cinq as sans interruption?
