CHAPITRE III
Hoc ntrobiqae atar fandamenlo : nimirum, in aloan ludo lanti «ttimandam est cujaiqae sortom. son expectationem ad aliquid obilnendam, qaanlnm tl habaat, posslt denno ad ilmllem lortem sire expectationem perrenire, nqua condltione oertans.
HOTGKÏIS.
36. Définition de Tespérance malhématique. — 37. Assertion exagérée de Poisson. — 38. La recherche de l'espérance mathématique et celle de la probabilité sont deux problèmes distincts. — 39. Exemple de la simplification d'un problème par la recherche directe de l'espérance malhématique. — 40. Second exemple. — 41. Troisième exemple. — 42. Quatrième cxemple^xlans lequel la recherche de l'espérance mathématique fait connaître la probabilité. — 43. Calcul d'une espérance mathématique déduite des probabilités des divers cas possibles. — 44, Problème sur le jeu de dés. — 45. Discussion de la formule obtenue. — 46. La valeur probable d'une fonction n'est pas déterminée par celle des grandeurs dont elle dépend. — 47. Exception relative aux sommes et aux produits quand les facteurs sont indépendants. — 48. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — 49. Insuffisance des explications proposées par Condorcet et par Poisson. — 50. La réponse du calcul est parfaitement raisonnable et n'a besoin d'aucune justification. — 51. Insignifiance de l'explication proposée par Daniel Bernoulli et devenue célèbre sous le nom de théorie de l'espérance morale.
36. Le sort des joueurs a été la première préoccupation des créateurs de la théorie du hasard. On le nomme aujourd'hui espérance mathématique, il est la valeur équitable des avantages encore incertains que font espérer les conditions du jeu.
L'espérance mathématique, dans un jeu équitable, est, pour chaque joueur, égale à sa mise qui, livrée au jeu, ne lui appar- B. 4
:)o <:Aixri. i)i.s I'iiobabu.itks.
ticnl plus. Cette égalité traduit la dcHnition : le joueur échanj sa mise contre une espérance malhématique. Si TéquivaleiK n'existe pas, le jeu n'est pas équitable.
L'espérance mathématique de celui qui a la probabilité p ( recevoir la somme S est mesurée parle produites.
Si n personnes, en elFet, ont sur la somme S des droits égau:
S ils peuvent équitablement la partager et prendre chacun -ou
tirer au sort et accepter pour part la probabilité - d*oblenir S. 1
quelques-uns des avants droit, au nombre de m, s^associent, c ])Ourra leur offrir équitablement, soit le partage donnant à lei
association — — ? soit la i)rol)abilitc — de recevoir S- Les dei
Il * /*
offres sont donc équivalentes.
37. Poisson a écrit : u Si le gain espéré par une spéculatic est (Joooo*^^ et que ^ soit la probabilité de l'obtenir, la pcrsoni qui devra recevoir cette somme éventuelle pourra considérer tiers de (ioooo*^' comme un bien qu'il possède et que Ton devn comprendre dans l'inventaire de sa fortune. »
Poisson va trop loin. Le plaideur engagé dans un procès qu a neuf chances sur dix de perdre et qui, en cas de gain, doit 1 rapporter i million, mentirait en disant qu'il possède looooo Un homme prudent, sur une telle garantie, refuserait de I prêter ;')oo'^^ Son espérance mathématique vaut looooo*^^, ms vraisemblablement il ne trouvera pas d'acheteur.
Cette confusion entre une espérance mathématique et la ccr titude d'une somme équivalente a fait naître de graves difl]cult< Nous aurons à y revenir.
38. Si la somme espérée est connue, la recherche de la prol bilité et celle de l'espérance mathématique forment un méi problème. Il en est autrement lorsque les conditions du jeu ii pliquent la possibilité de gagner ou de perdre, suivant les cas, pi sieurs sommes diflerenles.
Si des événements ayant pour probabilités py , /?,, . . . , /;j| do
CHAP. III. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 5l
nent droit aux sommes S|, So, ..., S,,, Tespérance mathématique est
Celui qui doit, suivant les cas encore incertains, recevoir Tune ou Tautre des sommes Si, S27 • • -, S^, peut vendre ses droits et, par des marchés équitables , échanger ses chances contre les sommes /7i S I, /72S2y ...,/?rtS„ qui donneront droit à n acheteurs différents de toucher en son lieu et place, le premier la somme S|, si c'est celle qui lui échoit, le second la somme S2) ..., et enfin le dernier la somme S,|. .
Le règlement des comptes ne fera naître aucune difficulté, puisque deux acheteurs, d'après les conventions, n'auront jamais à réclamer la même somme.
L'espérance mathématique est connue quand les probabilités des divers cas possibles ont été calculées. Mais il est plus aisé, quelquefois, de la chercher directement sans s'occuper des termes qui la composent.
39. Problème XLIIL — Pierre et Paul jouent au jeu de rencontre. Une urne contient jjl numéros marqués i, 2, 3, ..., jjl. Paul tire successivement les [jl boules et s^ engage à donner à Pierre i^'^ chaque fois qu^un numéro sortira à son rang. Quelle est V espérance mathématique de Pierre?
S'il fallait évaluer la probabilité des divers cas possibles, le problème, sans être difficile, exigerait de longs calculs.
En nommant pi la probabilité pour qu'il y ait i rencontres, l'espérance demandée est
La somme est plus aisée à calculer que chacun des termes qui la composent.
L'espérance mathématique de Pierre est, à chaque tirage, -• La somme espérée est en effet 1^', et la probabilité de l'obtenir -•
52 CALCUL DES phobâbilités.
La probabilité au moment où le tirage va se faire dépend des numéros sortis antérieurement. Si le numéro i est sorti déjà, la probabilité de le voir au «*'*"• tirage est nulle. S'il n*est pas sorti, elle
est -. Mais c'est au début du jeu qu'il faut la calculer, et
la probabilité est alors - •
L'espérance mathématique de Pierre, étant pour chaque tirage -) est, pour les [x tirages, [jl-; c'est-à-dire i*'.
40. Problème XLIV. — Une urne contient des boules noires et des boules blanches; la probabilité de la sortie d'une boule blanche est p, celle de la sortie d'une boule noire est q. On fait [X tirages en remettant chaque fois dans Vurne la boule qui en est sortie, Pierre recevra i^^ chaque fois qu'une boule blanche sortira, précédée et suivie par une boule noire. Quelle est, pour l^ ensemble des jx tirages, V espérance mathématique de Pierre?
La probabilité pour que le tirage de rang i donne à Pierre le droit de recevoir i'' est pq^, car il faut le concours de trois événements dont les probabilités sont <jr, p et q. L'espérance mathématique étant, pour chaque tirage, égale à pq^^ elle est, pour l'ensemble des [JL tirages, égale à [f-pq^*
L'espérance mathématique est la même que si les jjl tirages se faisaient dans une urne donnant à la sortie d'une boule blanche la probabilité pq^, et que Pierre dût recevoir i'^ pour chaque boule blanche sortie, sans qu'aucune condition fût imposée à celle qui la précède ni à celle qui la suit. Les deux jeux donnent à Pierre des avantages équivalents mais non identiques. Dans le premier,
sur [JL tirages, la plus grande somme qu'il puisse gagner est -?
dans le second elle est (jl. Si l'on voulait, pour obtenir l'espérance mathématique, calculer les termes qui la composent et, pour cela, chercher la probabilité pour que sur jjl tirages Pierre eût un nombre donné n de francs à recevoir, la difficulté des deux problèmes serait fort inégale. La considération, parfaitement rîgou-
reuse, de l'espérance mathématique dispense de les résoudre. Pierre, en effet, peut, pour chacun des tirages, vendre la chance qu'il a de gagner i'' sans avoir à tenir compte de l'influence exercée par les chances de l'un des coups sur celles du suivant. Il est certain que, si l'acheteur du coup de rang i est favorisé par le sort, celui du coup suivant ne le sera pas ; la boule qui lui appartient sera noire. Peu leur importe : la chance qu'ils achètent, au moment où ils la payent, n'est ni augmentée ni diminuée.
41. Problème XLV. — Une urne contient un grand nombre n de houles marquées des numéros i , a, 3, . . . , w. On fait successivement jjL tirages y en remettant chaque fois dans Vurne la boule qui en est sortie, Pierre recevra i^' chaque fois que la série des numéros écrits dans leur ordre de sortie présentera un maximum ou un minimum. Quelle est V espérance mathématique de Pierre?
Si l'on considère un tirage désigné, la probabilité pour que le numéro correspondant soit dans la suite un maximum ou un minimum est |. Si l'on compare en effet le numéro sorti à celui qui le précède et à celui qui le suit, il sera maximum s'il est le plus grand des trois : la probabilité pour cela est j, et minimum s'il est le plus petit : la probabilité est également |; en écartant comme ayant une probabilité négligeable, si n est très grand, le cas où deux numéros consécutifs seraient égaux, la probabilité pour que le numéro dont le rang est donné soit maximum ou minimum est \, L'espérance mathématique de Pierre pour chacun des termes de la série est donc |; elle est pour les jx termes de la série |jjl.
Le raisonnement peut, comme le précédent, laisser un doute qu'il faut discuter.
Si, dans la suite, un numéro est maximum ou minimum, cela change la probabilité pour que le suivant le soit aussi.
La probabilité pour que le vingtième terme de la suite soit maximum est |.
La probabilité pour que le vingt et unième soit maximum est
aussi \,
La probabilité pour qu'ils le soient tous deux n'est pas J, elle est nulle.
L'objection serait fondée si nous calculions les probabilités. Quand il s'agit des espérances mathématiques, elle perd toute sa force.
Pierre, en eflet, peut vendre à des acheteurs différents chacun des francs qu^il peut espérer; tous les marchés sont équitables. Chaque acheteur a bien réellement probabilité | de recevoir i*^^; peu lui importe que son gain, s'il est obtenu, diminue les chances d'un autre : les conventions partielles n'en sont pas moins équitables. Pierre a pu vendre équitablement ses droits \\»-^'^- Telle est donc son espérance mathématique.
42. Si, une urne contenant deux boules blanches et une boule noire, on fait successivement jjl tirages, l'espérance mathématique de celui qui doit recevoir i*^ par boule blanche sortie sera |[x comme dans le cas précédent; là s'arrête la ressemblance des deux problèmes. La probabilité d'extraire de l'urne un certain nombre de boules blanches n'est pas égale à celle d'avoir un même nombre de maxima ou minima.
La probabilité pour que toutes les boules soient noires est (^)^î celles pour qu'elles soient toutes blanches (f )'*. Les probabilités de n'avoir ni maximum ni minimum et celle de n'avoir que des maxima et des minima sont très différentes.
L'égalité entre les espérances mathématiques n'implique nullement celle des diverses probabilités qui figurent dans leur expression.
-43. Problème XLVL — On trace sur un plan indéfini des lignes parallèles équidistantes. Une aiguille est lancée au hasard sur le plan, Pierre recevra i'^'' par rencontre de Vaiguille avec une des parallèles. Quelle est V espérance mathématique de Pierre?
L'espérance mathématique de Pierre est proportionnelle à la longueur de l'aiguille et indépendante de sa forme, droite ou courbe.
Il n'en est pas de même de la probabilité de la renconlre, et ce problème, comme le précédent, montre la différence entre le calcul de la probabilité et celui de l'espérance mathématique.
Une aiguille est droite; on la courbe; la probabilité de la rencontre est changée : l'aiguille ne pouvait, si elle est plus petite que la distance des deux parallèles, procurer deux rencontres à la fois; elle le peut quand, sans changer sa longueur, on l'a pliée en courbe. On peut même être certain, si la courbe est fermée, qu'une première rencontre en rend une seconde nécessaire.
Les conditions du problème sont donc changées. L'espérance mathématique de celui qui doit recevoir i*^*" par renconlre reste la même. Chaque élément de l'aiguille donne, en effet, une espérance indépendante des autres éléments qui lui sont attachés. Celui qui doit recevoir i*^^ par renconlre (c'est la même chose que i^' s'il y a rencontre, quand une seule rencontre est possible) peut vendre à des acheteurs différents les droits résultant pour lui de chaque élément de l'aiguille, et la valeur de ces droits reste la même, soit que l'aiguille soit droite ou courbe.
Soient a la distance de deux parallèles, /la longueur de l'aiguille, plus petite que a. Si la probabilité d'une rencontre est /?, p est aussi l'espérance mathématique de Pierre. Remplaçons l'aiguille
par un cercle de même longueur. Le rayon R de ce cercle sera — •
La probabilité pour que le cercle rencontre une des parallèles est
— • Si l'on partage, en effet, la dislance a des deux parallèles entre
lesquelles tombe le centre du cercle en n parties, il y a chance égale pour qu'il tombe sur chacune d'elles, et il faut, pour qu'il y ait rencontre, qu'il soit à une distance moindre que R de Tune ou l'autre des deux lignes. Le nombre des divisions favorables est
; leur nombre total est n, et la probabilité de la rencontre
est, par conséquent,
Si le cercle rencontre une des parallèles, il la rencontre deux
fois ; l'espérance mathématique est donc
4R 07 ^ a ai:
Telle est la probabilité pour la rencontre de Taigullle. L'ingénieuse substitution d'un cercle à une aiguille rectiligne est due à M. Emile Barbier.
44. Problème XLVII. — Pierre a trois pièces de 5*^^, Paul en a deux; ils conviennent que chacun jettera ses pièces. Celui qui obtiendra le plus grand nombre de faces prendra les cinq pièces. Le jeu est-il équitable?
Pierre expose iS*^*" et Paul lo^"^ seulement; mais Pierre a plus grande chance de gagner. La compensation est-elle exacte?
Dans ce cas, comme dans un grand nombre d'autres, la méthode la plus simple pour calculer l'espérance mathématique est de chercher la probabilité de chacun des cas possibles.
Pierre peut, avec ses trois pièces, amener o, i, 2 ou 3 fois face. Les probabilités sont ^, |, \ et ~.
Paul peut avoir o, 1 ou 2 fois face; les probabilités sont -^, J et {.
Si Pierre n'a pas face une seule fois, sa probabilité de gagner est o, celle de perdre est j.
S'il a face une fois, sa probabilité de gagner est {, celle de perdre J.
S'il a face deux fois, sa probabilité de gagner est f, celle de perdre o.
S'il a face trois fois, sa probabilité de gagner est i,
La probabilité de Pierre est donc
celle de Paul est
CHÀP. III. ESPÉRAKCE MATHÉMATIQUE. * 5'J
La somme des deux probabilités n'est pas égale à l'unité, parce que la partie peut être nulle; mais, s'il est convenu qu'on recommencera jusqu'à ce qu'un des joueurs ait gagné, les probabilités ^ et ^ représentent deux fractions de même dénominateur ayant pour numérateur les nombres de cas favorables, dont le rapport reste constant quand le nombre des parties augmente. Il faut donc, pour avoir les deux probabilités, partager l'unité en deux parties qui soient dans le rapport de ^ à ^^^ elles sont
— et — II II
L'espérance mathématique de Pierre est
. 8 5»oo 25 X — = — :
Il 11
elle est plus grande que sa mise.
L'espérance mathématique de Paul est
elle est plus petite que sa mise.
Le jeu est avantageux à Pierre.
^. Problème LXVIIL — Un nombre n de joueurs ayant déposé chacun i^^ jettent un nombre |jl de dés, V enjeu total appartiendra à celui qui amènera la plus grande somme de points, ou sera partagé entre ceux qui auront amené le même nombre de points, plus grand que celui des autres joueurs,
Pierre joue le premier, il amène k points. Quelle est, avant que les adversaires aient joué, son espérance mathématique?
Les /i^' qui forment l'enjeu total appartiendront à Pierre si aucun des adversaires n'amène un point égal ou supérieur à k\ ils seront partagés entre m + i joueurs si, aucun n'amenant un point supérieur kk^ m des adversaires amènent k.
La probabilité d'amener avec [x dés un point donné est connue
par le Tableau donné (19), qu'il serait aisé d'étendre au cas d'un plus grand nombre de dés. Nommons qk la probabilité d'un point supérieur à k et pk celle d'un point précisément égal à k\ la probabilité d'un point inférieur à k sera
Pour que Pierre ait part à l'enjeu, il faut qu'aucun des points . ne soit supérieur à A'; la probabilité pour qu'il en soit ainsi est (i — Çfi)"~^' Soient/?]^la probabilité, dans cette hypothèse, d'amener le point k et r]^ celle d'amener un point inférieur.
La probabilité pour que Pierre partage avec i de ses adversaires
est
î-i ^'3 . . . (n ï ) ,, ^tn-i-i
L'espérance mathématique de Pierre est
(^-ç,.)n-'n^rr'-^'^in-i)rr'pk
I (n— l)(/l — 2) jn-i^'i . . l 'n-ll
égale évidemment à
^'~f.^^''"' [(rl. + /,)"-/-'n,
Pk
et, à cause de rj^-\- pf^=z i, puisque r'/^ ^^Pk sont les probabilités de deux événements contraires,
Pk
il reste à calculer r'f^ et/>)^.
Le rapport de z]^ à/>]^ est le même que celui de r/ç kpj^. L'hypothèse faite qu'aucun numéro supérieur à k n'est sorti diminue en effet le nombre des cas possibles, sans changer celui des cas favorables à l'arrivée d'un nombre de points égal ou inférieur à k. Les numérateurs de /J^ ^^ ^^ Pk sont, avec un même dénomina-
leur devenu plus petit, ceux de rk et de p^. On a donc
Pk Pk et, puisque r]^ +^]^ = i ,
f'K -^ Pk
Pk
^^ l'k -^ pk
