Un problème intéressant peut être résolu
Pierre ayant obtenu le point A*, quel est le nombre d^ad\ev' saires le plus favorable à ses intérêts, c'est-à-dire quel est celui qui lui laisse la plus grande espérance mathématique?
En accroissant le nombre des joueurs, on accroît la somme à partager, mais on diminue la chance d'y avoir part et celle de l'avoir tout entière. 11 faut déterminer n de manière à rendre (i) maximum.
En égalant à zéro la dérivée par rapport à /i, on obtient
Cette équation fera connaître la valeur de /?.
Si Pierre a amené le point le plus élevé possible, on a qf!= o; r" est nul et n infini. Pierre, dans ce cas, certain d'avoir une part, a avantage à accroître sans limite le nombre de ses adversaires.
L'espérance mathématique de Pierre ne grandit pas indéGni-
nicnt. La formule (i), quand on y suppose qk=o et n infini, se
réduit à
L'enjeu total n devant être partagé entre tous ceux qui auront le point maximum, pour que chaque part soit -r « il faut que le
nombre des partageants soit np'j^, p\y quand k est le plus grand des points possibles, ne diffère pas de pk» npk est le nombre
6o CALCUL DES PROBABILITÉS.
probable de ceux d'entre les n adversaires qui amèneront le point maximum dont la probabilité est /7a*
Le Tableau suivant donne les résultats relatifs au cas où Ton joue avec trois dés. Pierre ayant amené au premier coup l'un des points inférieurs au maximum i8, la première colonne donne le point obtenu, les deux suivantes donnent les probabilités désignées dans la formule par /?a et qk \ le nombre d'adversaires le plus avantageux pour chaque valeur de k est inscrit dans la quatrième colonne; la cinquième donne la valeur de (i — y*)"? probabilité pour que Pierre ait une part.
0,634140 o,555go2
Qk-
Pk-
o,6ii2i5
Si Pierre avant lancé six dés a obtenu cinq 6 et un 5, on aura
Pt^ = i;6
Le nombre d'adversaires le plus avantageux est i5i44 et la probabilité de recevoir une part est, dans ce cas,
CHAP. III. ESPÉRAKCE MATHÉMATIQUE. 6l
47. Lorsque les valeurs probables de plusieurs grandeurs sont connues, on ne connaît pas pour cela la valeur probable d*une fonction donnée de ces grandeurs.
La valeur probable d'une grandeur inconnue a est, par définition, l'espérance mathématique de celui qui devrait recevoir une somme égale à a.
Si a peut prendre, selon les décisions du hasard, les valeurs a,, tto, . . ., a,|, et que, pour chacune d'elles, les probabilités soient P\y Pu •••>/>//, la valeur probable de a est
La valeur probable de a'^ est
elle est très différente du carré de la valeur probable de a.
Si deux grandeurs a et b ont pour valeurs probables A et B, la
valeur probable de r n'est pas -=r» On peut même remarquer que
si o est une des valeurs possibles de ft, si peu probable qu'elle
soit, la valeur probable de 7 est infinie.
