Deux cas importants sont à noter
La valeur probable d'une somme est la somme des valeurs probables des parties de la somme.
C'est la conséquence immédiate de la définition.
La valeur probable d'un produit, quand les /acteurs sont indépendants, est le produit des valeurs probables des facteurs.
Soient a et 6 deux grandeurs. La première peut recevoir les valeurs ai, ao, . . -, a/i, dont les probabiliti^s sont /?|, /?2, . . ., /^/i- ^21 seconde peut avoir les valeurs j3,, jîo, . . . , ^mj dont les probabilités sont Çi, Çi^ . . ., Çm- Les valeurs probables sont
leur produit est la somme des termes tels que
Piqi'^i^i'j
qui représentent les produits de toutes les valeurs possibles a/^/' du produit ab par leurs probabilités />/(jr|'.
Si l'arrivée de l'événement a exerçait une influence sur celle de fr, la probabilité de l'association de a, avec ^i» ne serait pas (23) le produit/?/ (7/'.
Si, par exemple, b est égal à a*, les valeurs possibles de a étant a,, ao, . . . , a„, celles de b sont aj, a^, . . . , a,^. Si a est égal à a/, il est certain que 6 sera t.^,
49. Paradoxe de Saint-Pétersbourg, — On a opposé les indications du bon sens aux décisions de la théorie et pour condamner les principes allégué leurs conséquences.
La discussion, jusqu'ici, n*a pas dissipé la méprise. La théorie, pourtant, est irréprochable; il n'est pas juste de lui opposer Tabsurdité de ses conseils : elle n'en donne pas. Il est déraisonnable d'exposer au jeu une forte somme, indélicat d'accepter un risque qui peut rendre insolvable. Le Calcul des probabilités doit ignorer ces sages appréciations.
On joue, c'est l'hypothèse. A-t-on tort ou raison? La question n'est pas posée.
On cherche les conditions équitables du jeu sans se demander si elles sont raisonnables, ni établir aucune relation entre cette question, que l'on ne veut pas aborder, et le problème à résoudre.
Le parti raisonnable, si les risques sont grands, est de ne pas jouer.
On peut, en acceptant des conventions strictement équitables, faire un acte de folie ou commettre une escroquerie. La remarque, pour être incontestée, ne change pas la théorie du jeu équitable. La confusion est analogue à celle que faisait Poisson (37), en portant une espérance mathématique dans l'inventaire d'une fortune.
Pierre, pour toute fortune, possède looooo*^, il veut avoir une chance de gagner loo millions.
Rien n'est plus facile, répond sans s'émouvoir le géomètre qu'il consulte. Si le jeu est équitable, vous aurez 999 chances sur 1000 de perdre vos looooo**".
La réponse doit s'arrêter là. Si Pierre trouve 999 personnes désireuses comme lui de gagner 100 millions et résignées comme lui à la presque certitude de perdre 100000'^'', ils organiseront une loterie de 1000 billets à 100000^*^ le billet.
Le jeu sera équitable, la théorie le déclare, le bon sens le démontre, et Pierre, cependant, sera très justement interdit comme insensé.
Le problème de Saint-Pétersbourg est devenu célèbre par l'ingénieuse combinaison des conventions faites pour dissimuler Pé- Dormité des mises, ou, pour être plus exact, des engagements.
Pierre et Paul jouent aux conditions suivantes :
Pierre jette une pièce de monnaie. Si elle montre face, il donnera i*' à Paul. Si elle montre pile, il jettera la pièce de nouveau. Si face arrive au second coup, il donnera 2*^'' à Paul. La pièce sera jetée jusqu'à la première arrivée de face qui termine la partie. S'il a fallu la jeter n fois, Paul recevra 2""' ^^.
Quelle est l'espérance mathématique de Paul?
Elle est inGnie.
Paul, en effet, recevra, selon le nombre des coups qui seront joués, une somme égale à l'un des termes de la suite illimitée
Les probabilités pour lui de recevoir ces différentes sommes sont
L'espérance mathématique de Paul est, par conséquent,
