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elle se compose d'un nombre infini de termes qui sont tous égaux

Quel que soit le prix dont il paye la promesse qui lui est faite, le marché sera avantageux à Paul.

Qui voudrait cependant risquer loo*^' à un tel jeu?

50. Les réponses proposées au prétendu paradoxe sont nombreuses. D'Alembert écrivait à Lagrange : « Votre Mémoire sur les jeux me fait désirer beaucoup que vous nous donniez une solution du problème de Pétersbourg, qui me paraît impossible en admettant les principes connus. )>

Les conditions du jeu impliquent contradiction, ont dit Condorcet et Poisson. Pierre prend des engagements qu'il ne peut tenir. Si face ne se présente qu'au centième coup, le gain de Paul représentera une masse d'or plus grosse que le soleil. Pierre le trompe en la lui promettant.

L'observation est juste, mais n'éclaircit rien. Si Ton joue des centimes au lieu de francs, des grains de sable au lieu de centimes, des molécules d'hj^drogène au lieu de grains de sable, la crainte d'être insolvable peut diminuer sans limite. La théorie ne doit pas faire la différence. Elle ne suppose pas non plus qu'avant chaque jet de la pièce on dépose la mise. Queibltque soit la dette de Pierre, la plume peut l'écrire, on réglera les comptes sur le papier; la théorie triomphera s'ils confirment ses prescriptions. Le hasard très probablement, on peut dire très certainement, finira par favoriser Paul. Quel que soit le prix dont il paye, à chaque partie, la promesse de Pierre, le jeu, s'il est tenace, l'enrichira sans limite. Pierre, insolvable ou non, lui devra une somme immense.

51. Si une machine pouvait jeter looooo pièces par seconde et enregistrer les résultats, Paul, en payant looo*^^ par partie, s'endetterait sans doute d'une centaine de millions par seconde; il n'en ferait pas moins, après quelques millions de milliards de siècles, un bénéfice colossal. Les conditions du jeu le favorisent, et la théorie a raison.

On peut, sans calculs, rendre l'assertion évidente :

Supposons, pour ne pas aborder de trop grands nombres, que Pierre s'engage à faire i milliard de parties.

Cherchons quelle somme Paul peut espérer recevoir, sans présumer pour lui le hasard bénévole.

Sur I milliard de parties, il faut s'attendre à en voir 5oo mil-

lions pour lesquelles Paul ne recevra que i**". On ne peut s'étonner d'amener face qne fois sur deux. Si le nombre est moindre, Paul aura du bonheur; nous ne voulons pas lui en supposer.

La seconde moitié des parties jouées commencent toutes par l'arrivée de pile. Le second coup amènera face vraisemblablement aSo millions de fois : une fois sur deux. Paul, pour chacune de ces parties, recevra 2*^**; il doit, de ce chef, espérer 5oo millions.

Les 2 00 millions de parties restantes commencent par deux fois pile; pour la moitié d'entre elles, on doit s*'y attendre, face arrivera au troisième coup, Paul recevra 4*'; c'est encore 5oo millions qu'il peut raisonnablement espérer. On peut renouveler trente fois le même raisonnement et voir clairement que l'ensemble des parties doit vraisemblablement rapporter à Paul, d'après les conditions convenues, une quinzaine de milliards. Le hasard, évidemment, peut le favoriser et accroître la somme, ou le maltraiter et la diminuer; mais, en donnant lo*^*' par partie, 11 a des chances sérieuses de ne rien perdre.

Si Pierre doit faire loo parties seulement, les chances sont différentes; Paul, en donnant iS^*" par partie, aurait grande chance de se trouver en perte. Les conditions du jeu lui seraient toujours avantageuses; mais son avantage résulterait des gros bénéfices possibles^ dont la chance est petite.

Si, au contraire, au lieu de i milliard de parties, on en devait faire looo milliards, Paul, au lieu de lo^*^, pourrait donner 20'*^ par partie, avec chance sérieuse de recouvrer 20000 milliards, sans compter, bien entendu, pour rien dans cette appréciation sommaire la possibilité de gagner des sommes immenses, dont le calcul exact a dû tenir compte.

52. La réponse la plus singulière faite au prétendu paradoxe est celle de Daniel BernouUi qui, le premier, a tiré de l'oubli cette question autrefois proposée par son cousin Nicolas.

100 millions, suivant Daniel BernouUi, ajoutés à une fortune déjà acquise de 100 millions, ne suffisent pas pour la doubler. Quels avantages nouveaux peuvent-ils procurer?

Il siibstilue, en conséquence, à l'espérance mathémlatique l'espérance morale, dans le calcul de laquelle une fortune dépend non du nombre d'écus dont elle se compose, mais des satisfactions qu'elle procure.

Le problème étant ainsi posé, BernouUi a l'audace de le résoudre. La solution est simple. Un accroissement dx ajouté à une

fortune x vaut — Celui dont la fortune était a et devient b gagne un avantage mesuré par

f''^=lb-la.

Jamais compte n'a été ni ne sera réglé de la sorte; mais, grâce à d'illustres approbations, la théorie de l'espérance morale n'a pas moins contribué à la célébrité de Daniel Bernoulli que ses admirables travaux de Physique.

53. Buffon a accru par son éloquence l'importance, je veux dire le retentissement de l'idée de Bernoulli.

La théorie de l'espérance morale est devenue classique, jamais le mot ne put être plus exactement employé : on l'étudié, on l'enseigne, on la développe dans des livres justement célèbres. Le succès s'arrête là, on n'en a jamais fait et n'en pourra faire aucun usage.

L'importance d'une somme d'argent diminue avec la fortune de celui qui la reçoit.

« L'avare, dit BufTon, est comme le mathématicien : tous deux estiment l'argent par sa quantité numérique. L'homme sensé n'en considère ni la masse ni le nombre. Il n'y voit que les avantages qu'il peut en tirer. Il raisonne mieux que le mathématicien. L'écu que le pauvre a mis à part pour payer un impôt de nécessité et l'écu qui complète les sacs d'un financier n'ont pour l'avare et le mathématicien que la même valeur. Celui-ci les comptera par unités égales, l'autre se les appropriera avec un plaisir égal, au lieu que l'homme sensé comptera l'écu du pauvre pour un louis et l'écu du financier pour un liard. »

Un commentateur, qui n'est pas sans mérite, Quételet, a ajouté, pour faire mieux comprendre une théorie qu'il expose et approuve :

« Ainsi 1000*' pour celui qui ne possède que 2000*^*" ont la même importance que 5ooooo*^^ pour celui qui possède 1 million. »

Si, par ce fier dédain de la fortune lorsque le nécessaire est assuré, on échappe au reproche d'avarice, c'est pour en mériter un plus grave. Celui qui possédant un million en acquiert un second changera fort peu, pas du tout peut-être, les habitudes de sa vie.

Est-ce là, pour qui n'est pas avare, le seul fruit de la richesse?

Si l'homme sensé dont parle BufTon n'est pas un cynique égoïste, il pourra, sans thésauriser, faire bon usage des millions qu'on lui suppose. On pourra les doubler, les décupler et les doubler encoHB, sans ralentir la progression constante du bien qu'il peut faire. N'a-t-il pas une famille à enrichir, des misères à soulager, de grandes œuvres à créer ou à faire naître? Il évitera, s'il est sage, de jouer gros jeu, même à des conditions équitables; mais, s'il ne porte pas, si riche qu'il soit, looooo'*^ par jour à la roulette, la crainte de la perte l'arrêtera beaucoup plus que le mépris du gain.