Al. 1.2.3. .. {1 — /i
c'est le terme général du développement de (p -+- q)V-, Si l'on écrit
le premier terme représente la probabilité pour que l'événement dont la probabilité est q ne se présente pas une seule fois; le deuxième 9 la probabilité pour que cet événement arrive une fois; le troisième, pour qu'il arrive deux fois, etc.
La somme des k premiers termes est la probabilité pour que cet événement, dont la probabilité est q, arrive au plus k -^ i fois sur [X épreuves.
La somme de tous les termes est la probabilité pour que l'événement arrive au plus jx fois, c'est la certitude, et la somme des termes est égale en effet à Tunité, puisque p -^q =z i.
53. Problème XLVIIL — La probabilité d'un événement estpy celle de V événement contraire est q ; on fait [x épreuves dans
les mêmes conditions. Quelle est, pour chacun des deux éi'énements, le nombre d^ arrivées le plus probable?
11 faut trouver pour quelle valeur de n, jx étant donné, Texpression (2)
p'*qV'
acquiert la plus grande valeur.
Si Ton range les expressions (2), c'est-à-dire les termes du développement de (p-hç)^y suivant Tordre des valeurs décroissantes de /i, le rapport d'un terme au précédent est
Al -+- 1 «7 ]i^n p'
La valeur cherchée de n doit rendre ce rapport plus grand que l'unité, et le rapport suivant, obtenu en changeant n en n — i , doit être plus petit que l'unité.
Nous avons donc, pour déterminer /ï,
Al -M q Il n p
|JL — TIH-I p
{n'i-i)q>iip-
np,
nq<iip-
- np -h
et,
cause
de
n>iLp n<\Lp'¥-
Le nombre entier n est compris, d'après ces formules, entre deux limites dont la différence p -hq est égale à l'unité.
11 est donc déterminé.
On peut dire, en négligeant la fraction, que [jl/> est le nombre le plus probable d'arrivées pour l'événement dont la probabilité est/>; le nombre d^arrivées le plus probable pour Tévénement dont la probabilité est q est pi — [t-p = ^q.
li-* -r r-
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Iw.*-— î- -.
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);f l'/ff/.hon '^ // , pair !■: ^,h4r*::r:iiienl de n en /i — i, i,li^-r;i pîir un ih'U:tàr \tf'M diff^rrent de Tonité. Nou:
^ muhipourrons
.IV*' l.i tt'i\i\iu\i'. mn"y // j vîiric lentement quand n augmente. 'J/^//y v«ifir IrrihrMM'iil, mais il n^est pas constant et ne tend pas
à le devenir. On a, en effet,
„.., lY".
Posons, pour évaluer le second membre, on en déduit .
et, en remplaçant /( i H — j par les deux premiers termes de son développement en série, c'est-à-dire en négligeant -- ->
Iz — x — ni ) = — .
\/l 2/t*/ 'lit
Par conséquent
et, en remplaçant e*" par les deux premiers termes de son développement,
z =■ I -\- - - • in
Nous pouvons écrire, en négligeant ~ ,
^(n) in
On a au même degré d'approximation
n V n 'in
la fonction ^{n) varie donc, quand on néglige —^9 suivantla même loi que yZ/î.
Si l'on pose
^{n) = v/7aF(/0,
par conséquent
