n = /i'»e-'»/nF(/i

la fonction F(n) variera très lentement, le rapport -~-. — r-^ se réduisant à l'unité quand on néglige — •

On pourrait continuer le même mode d'approximation pour chercher la valeur approchée de F(/i), comme nous avons cherché celles de (f{n) et de ^(n)] mais il est permis de s'arrêter,

parce que, d'après l'évaluation obtenue pour le rapport — ^t — r-^>

on peut démontrer que F(/i) tend vers une valeur constante par laquelle on peut dès lors le remplacer si n est très grand.

—^ — -^ se réduisant à l'unité quand on néglige -j> on peut

poser

F( n-^i) , , >j F(/i) ~' ni'

X| ne grandissant pas indéfiniment avec /?, nous en déduirons, en changeant la valeur de /z,

F(/i-+.i) ""^"^ (nn-i)^'

F(n-^p) ^^ ^ Ip

X|, }s27 . • • 7 ^p n'augmentant pas sans limite avec p. En multipliant les équations précédentes, on a

le second membre, et par conséquent le premier qui lui est égal, tend vers l'unité lorsque, n étant de plus en plus grand, on donne à p une valeur quelconque, grande ou petite. On a, en effet.

tendant vers zéro lorsque n augmente. Le logarithme du second membre de (3) est

et, à cause de (4),

—.(!-+- 0«)^-7-^^î(i-^ ôa) -4-...-+-; ^^- z-Ai-^^p).

Cette expression tend vers zéro quand n augmente, parce que la série dont le terme général est -j est convergente ; la somme des termes qui, dans cette série, suivent — j est donc très petite, quelque loin qu'on la prolonge, et elle reste très petite quand les termes sont multipliés par des facteurs qui ne grandissent pas sans limite.

Nous pouvons donc poser, en nommant G la limite constante vers laquelle tend F(/i),

Le théorème, sous cette forme, était connu de Moivre; Stirling a trouvé la valeur de la constante.

On a, d'après un théorème célèbre de Wallis,