JL/> 1 .2.3. . ,\kq
C'est le produit par ^-pq du terme maximum, c'est-à-dire, d'après la valeur approchée (57) de ce terme,
v/2 [ATT/?^ V^^2TC
Il faut doubler ce résultat, puisque nous n'avons pris que les valeurs positives de 5 : il s'accorde avec l'expression obtenue (63).
65. Nous pouvons donc accepter avec confiance l'expression (9) pour la probabilité d'un écart égal à z.
La probabilité pour que z soit inférieur à une limite donnée a, c'est-à-dire pour qu'il soit compris entre — a et + a, sera
' / e'Wp^dz
^'2 [ITZ pq J-OL
OU, en posant ,- = t^
04) wa= -^ / e-''dt.
Cette probabilité s'obtiendra dans chaque cas particulier à l'aide de la Table des valeurs de la fonction
TZ Jù
que l'on trouvera à la fin du Volume.
0(^), on peut le voir à Tinspeclion de la Table, tend rapidement vers l'unité ; on a
66. On peut, sans consulter la Table des valeurs de la fonction 6, déduire de la formule (9) d^importantes conséquences.
L'écart zéro est le plus probable. Il a cependant une probabilité infiniment petite lorsque le nombre des épreuves devient infini.
La formule qui représente la probabilité d'un écart inférieur à a s'annule pour a =0.11 faut remarquer qu'en substituant une variable continue à l'écart, qui nécessairement est entier, nous devons, pour représenter l'écart nul, prendre tout l'intervalle entre a = o et a = I. Nous n'avons plus alors une probabilité rigoureusement nulle, qui devrait diminuer la confiance inspirée par la formule.
Si l'on assigne à a une valeur déterminée, quelque grande qu'elle soit, la probabilité pour qu'il ne la dépasse pas tend vers zéro lorsque |jl augmente sans limite.
On peut regarder comme certain, par conséquent, que, le nombre des épreuves croissant indéfiniment, Vécart croîtra sans limite. La probabilité pour qu'il reste au-dessous d'une limite donnée est infiniment petite.
Ce résultat fixe le sens du beau théorème de Bernoulli; l'écart relatif est de plus en plus petit, l'écart absolu de plus en plus grand.
67. La certitude, quand les épreuves se multiplient, de voir l'écart absolu grandir sans limite peut se démontrer a priori, indépendamment de toute formule.
Le résultat le plus probable de [a épreuves successives est l'arri-
MIIM»mU>^
vée (x/> fois de l'événement dont la probabilité est jd. Cette probabilité maximum, quoique plus grande que toutes les autres, tend vers zéro ; elle est (57) proportionnelle à -t=«
Les autres, qui sont plus petites, tendent a fortiori vers zéro; et, si l'on en prend un nombre désigné, quel qu'il soit, leur somme ne peut manquer de tendre vers zéro lorsque, ce nombre restant fixe, [JL augmente indéfiniment.
68. Il faut insister, en donnant un exemple, sur cette distinction entre l'écart absolu, qui doit grandir, et l'écart relatif, qui tend vers zéro.
On joue à pile ou face. Combien doit-on faire d'épreuves pour que la probabilité d'obtenir pile ou face, sans préciser lequel, un million de fois au moins de plus que l'autre surpasse 0,01 ?
Il faut déterminer {j. par l'équation
--= / c-^'eff =0,99.
On trouve dans la Table de la fonction 6(0
Nous poserons donc
if
on en déduit
jji = 597 211 millions.
I. La probabilité Wa d'un écart plus petit que a est, en général,
il dépend du rapport -p: et tend rapidement vers l'unité quand ce rapport augmente. Si l'écart relatif- reste constant, --= = Vr ""
augmentera sans limite et la probabilité d'un écart moindre que a se rapprochera de la certitude.
Cherchons, par exemple, le nombre d'épreuves qu'il faut tenter à la roulette pour avoir 99 à parier contre i de voir le zéro sortir plus d'une fois sur quarante en moyenne. Le nombre de sorties le plus probable est une sur trente-sept-, si le zéro sort moins d'une fois sur quarante, l'écart est négatif et plus grand que
f- — 7- = fx (0,002027).
Nous avons
La probabilité d'un écart plus grand que a, si l'on pose
)/'X [ipq
est donc 0,02; le signe étant donné, elle est 0,01.
Nous poserons donc
En prenant
on trouvera
/•-* l^PÇ
jji = 34848.
Quelque petit que soit l'écart relatif assigné, on pourra faire un nombre d'épreuves assez grand pour rendre la probabilité de ne pas l'atteindre aussi grande que l'on voudra.
70. Deux écarts remarquables ont reçu des noms qu'il faut connaître.
On a
L'écart a déGni par réquation
a donc probabilité égale d'être ou de ne pas être surpassé.
Cet écart
se nomme \ écart probable sur jx épreuves.
L'écart moyen est la valeur probable de l'écart; il a pour valeur (64)
-F ^Vm = 0.79789 >/n^'
yTZ
Le rapport de l'écart probable à l'écart moyen est o,8463. Ils sont l'un et l'autre proportionnels à la racine carrée du nombre des épreuves.
71. On représente souvent le nombre d'arrivées de l'événement dont la probabilité est jd, sur [x épreuves successives, par
En assignant à p une valeur numérique donnée, la probabilité pour que le nombre d'arrivées soit compris entre les limites indifjuéespar celte formule est un nombre fixe, indépendant de [jl, de P et de g.
Dans une série quelconque d'épreuves, il y a un à parier contre onde voir le nombre d'arrivées de l'événement dont la probabilité est p compris dans les limites
lipdzo,/ij6g)/'2iipq; neuf à parier contre un qu'il sera dans les limites
lip zh i,i6Z ^-iiipq,
cl mille à parier contre un qu'il ne sortira pas des limites
jx/? ± 2,327 /Tïïpq.
72. La formule (i4) permet de définir avec précision ce qu'on doit entendre ^dj^ jouer plus ou moins gros jeu,
Pierre joue looo parties, l'enjeu est i*^^; Paul en joue loo, mais Tenjeu est lo^*^.
Tous deux peuvent perdre lOOo'*'. Ils courent les mêmes risques, mais n'y sont pas également exposés. Supposons un jeu équitable; la probabilité de gagner est/>, celle de perdre est q. La mise de Pierre est a, celle de son adversaire est 6, et l'on a
pb r=z qd.
Si Pierre gagne ^p -^ h parties, il en perdra ^q — h\ son bénéfice sera
{\Lp -^ k)b— (nq — h) a = h{a-^ b).
Il est proportionnel à h,
La probabilité pour que la somme perdue ou gagnée soit inférieure à A (a -r 6) = S est donc
Vt\Lpff
La situation faite aux joueurs par les conditions du jeu et par
le nombre des parties est déterminée par le produit (a -\- b) yj^pq- Pierre expose i o*^^ par partie et joue ao ooo parties, avec chance égale de gagner ou de perdre.
Paul expose également lo^*", mais sa chance de gain est ^ seulement; il doit, en cas de gain, recevoir 35o*^^. Combien Paul doit-il faire de parties, à ce jeu équitable, pour courir les mêmes risques que Pierre?
Le nombre [x des parties est donné par l'équation
20 v^ôooo = 36o i//^^ »
La situation de Paul, qui joue 671 parties, serait exactement la même que celle de Pierre qui en joue 20000, si les formules
étaient rigoureuses; elles ne sont qu^approchées. Il ne faudrait pas les appliquer à de petits nombres.
73. Supposons que, dans un pays qui compte lo millions d'électeurs, on en désigne 20 000 par un tirage au sort, pour leur faire élire un représentant. En supposant que le pays soit partagé entre deux opinions, 4 5ooooo d'un côté et 5 5ooooo de Tautre, quelle est la probabilité pour que le candidat élu appartienne à la minorité.
Le problème est identique à celui-ci :
La probabilité d'un événement est o,45, celle de l'événement contraire o,55; on fait entre eux 20000 épreuves, quelle Qst la probabilité pour que l'écart dépasse 1000 en faveur de l'événement le moins probable.
La combinaison la plus probable donnerait à la minorité 9000 électeurs sur 20000. Pour que le hasard la transforme en majorité, il faut un écart supérieur à 1000, dont la probabilité s'évaluera en divisant par 2 l'indication fournie par la formule (i4)) qui se rapporte à un écart inférieur à a dans un sens ou dans l'autre.
La probabilité pour avoir un écart supérieur à 1000 est
i — ef— ==) =1 — e(io).
\/ioooo/
9(10) diffère tellement peu de l'unité que l'événement peut être regardé comme absolument impossible. La probabilité de gagner deux quines de suite à la loterie serait beaucoup plus grande.
L'expérience semble démentir la théorie. Les minorités sont représentées, et, sans qu'ily ait aucune relation entre leur nombre dans le pays et celui de leurs élus, celui-là est loin d'être nul.
Le calcul précédent suppose, en effet, que, tous les électeurs étant inscrits sur une seule liste, on y prenne 20000 noms au hasard pour composer le collège électoral. Il n'en est pas ainsi; les électeurs d'un même département, d'un même arrondissement quelquefois ou d'une même ville ayant des intérêts communs, ne
go CALCUL DES PROBABILITÉS.
pouvant manquer de subir les mêmes influences, ne sont nullement assimilables à un groupe de votants désignés indépendamment les uns des autres sur le pajs tout entier.
74. Lorsque la probabilité d'un événement est connue, on peut prédire avec presque certitude la valeur approchée du nombre d'arrivées de cet événement sur un nombre connu d'épreuves.
Il faut cependant faire d'importantes réserves.
Le théorème reste vrai quand la probabilité de l'événement est inconnue. Le rapport du nombre des arrivées de l'événement au nombre total des épreuves s'approchera certainement de cette probabilité inconnue, si l'on augmente sans cesse le nombre des épreuves. Si, par exemple, on puise dans une urne contenant des boules blanches et des boules noires, en remettant après chaque tirage la boule qui est sortie, le rapport du nombre de boules blanches sorties au nombre des tirages convergera vers la probabilité assignée par la composition de l'urne.
Mais deux conditions sont nécessaires : la probabilité ne doit pas changer pendant les épreuves, et elle doit avoir une valeur déterminée.
Un événement incertain n'a-t-il pas toujours une probabilité déterminée connue ou inconnue?
Il faut se garder de le croire.
»uelle estJa probabi lité pour qu'il pleuve demain?
Elle n'existe pas.
Non pas parce qu'elle varie d'un jour à l'autre avec l'état du ciel et la direction des vents ; mais parce que dans aucune circonstance elle n'a de valeur objective, la même pour tous ceux qui l'évaluent sans se tromper.
Il pleuvra ou il ne pleuvra pas, l'un des deux événements est certain, dès à présent, et l'autre impossible. Les forces physiques dont dépend la pluie sont aussi bien déterminées, soumises à des lois aussi précises que celles qui dirigent les planètes.
Oserait-on demander la probabilité pour qu'il y ait éclipse de lune le mois prochain ?
CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERJNO.ULLI. gi
Un homme est âgé de quarante ans, quelle est la probabilité pour qu'il vive dans dix ans ?
Ni l'événement cette fois, ni l'événement contraire n'ont, dès à présent, certitude égale à celle d'une éclipse, mais la probabilité n'a pas davantage, pour cela, de valeur objective^ indépendante des renseignements connus et du bon jugement de celui qui en fait usage.
Le roi de Siam a quarante ans, quelle est la probabilité pour qu'il vive dans dix ans? Elle est autre pour nous que pour ceux qui ont interrogé son médecin, autre pour le médecin que pour ceux qui ont reçu ses confidences; très difierente enfin pour des conjurés qui prendraient leurs mesures pour l'étrangler le lendemain.
Toutes ces probabilités sont subjectives, il n'en existe pas d'objective.L'esprit se refuse à concevoir une urne contenant des boules blanches et des boules noires que l'on puisse composer chaque matin de telle sorte que la chance de vie pendant la journée puisse être remplacée, pour un individu désigné, parle tirage d'une boule dans celte urne.
Les cas précédents ne peuvent être pris pour exemples de l'application du théorème de Bernoulli. Que le roi de Siam meure ou vive, il est impossible de renouveler l'épreuve.
Il faut considérer, au lieu d'un événement isolé, une classe d'événements définis tous ensemble sans distinction. La réponse alors est moins évidente.
Quelle est la probabilité pour qu'il pleuve dix fois à Paris pendant le mois de janvier? On ne dit pas de quelle année.
Pour qu'un habitant de Paris âgé de quarante ans vive encore dans dix ans ? On ne désigne pas l'habitant.
Ces deux questions, semblables en apparence à celles qui ont été posées d'abord, en sont réellement très difierentes. Nous réunissons en effet, sans distinguer entre eux, tous les jours du mois de janvier de toutes les années et tous les hommes âgés de quarante ans, au lieu de désigner un seul jour et de s'occuper d'un seul homme.
Supposons que les progrès de la Science permettent la prédic-
lion des jours de pluie avec une certitude égale à celle des éclipses. Le Tableau dressé à l'avance soustrairait le problème à la théorie du hasard, mais pour l'y faire rentrer s'il s'agit d'un jour indéterminé du mois de janvier choisi dans une année indéterminée.
L'assimilation à une urne devient possible alors. Le nombre des boules est le nombre des journées de janvier pendant un grand nombre de siècles; celui des boules blanches, le nombre des jours de pluie.
Une différence subsiste. Dans les épreuves relatives aux jours de pluie, on ne peut ni agiter les boules ni les remettre dans Turne. En termes plus clairs, l'événement observé un jour n'est pas sans influence sur celui du jour suivant.
S'il s'agit des chances de mort pour un Français âgé de quarante ans, la question est moins évidente encore. On ne peut plus supposer le Tableau des événements dressé à l'avance avec certitude ni accepter, a priori, l'assimilation avec les tirages dans une urne.
Il n'est pas permis d'affirmer la régularité de la proportion des décès dans une grande ville ou même dans un grand pays.
Cette régularité est révélée par la statistique; elle est très remarquable, mais nullement nécessaire.
Le rapport du nombre des décès à celui des survivants est, pour un âge donné, à peu près invariable.
Le rapport du nombre des naissances masculines à celui des naissances féminines est constant à très peu près, à toutes les époques et dans tous les pays.
Il serait impossible de le démontrer a priori.
Le nombre d'hectolitres de blé récoltés dans un département varie d'une année à l'autre.
Pourquoi celui des naissances est-il invariable?
On ne saurait en dire la raison.
La constance des rapports, quand elle est constatée, donnet-elle le droit d'assimiler les chances de décès et celles des naissances pour l'un et Tautre sexe à des tirages faits dans une urne de composition invariable?
La conséquence n'est nullement permise.
CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. pS
Les tirages au sort, si Turne est composée pour cela, seront d'accord, en moyenne, avec la statistique. C'est une vérité identique.
Mais de l'égalité des moyennes peut-on conclure celle des chances d'écart? Ce serait admettre ce qui est en question.
Substituons aux hommes d'une même ville les moutons d*un même troupeau et faisons la statistique de l'abattoir; un marché fait pour un grand nombre d'années règle le nombre des victimes, la régularité est parfaite. On peut composer l'urne dans laquelle on tirera avec certitude, pour un nombre suffisant d'épreuves, un nombre moyen de boules noires égal à celui des moutons sacrifiés chaque jour.
L'assimilation n'ira pas plus loin. Le nombre des boules noires variera d'un jour à l'autre; le nombre des moutons sera invariable. On fait une expérience sur les dés. On les introduit dans un cornet, on agite, on les lance et on note le coup. L'épreuve répétée 20 000 fois confirme les prévisions théoriques. Tous les cas se produisent proportionnellement à leurs probabilités. L'expérimentateur se fatigue ; une seule chose importe après tout, c'est de mettre le hasard à l'épreuve. Il dicte les points sans jeter les dés, il s'interdit le choix, le hasard parle par sa bouche.
Obtiendra-t-il les mêmes résultats? Aura-t-il looo doublets environ sur 6000 épreuves ? Le nombre des points impairs sera- ^"Jpeu différent de celui des points pairs? Il serait téméraire de l'affirmer. L'improvisateur des coups de dés peut se dire : il y a loiig- ^emps que je n'ai appelé le double six, Timpartialité veut qu'il ait son tour. Le sort n'a pas de tels scrupules, et il pourra arriver qu'une trop grande conformité aux proportions prévues trahisse Intervention d'une cause perturbatrice.
Si l'on jette deux dés 6000 fois de suite, le nombre le plus probable des doublets est 1000, l'écart probable est
0,476934/-^— = 19,4706 et l'écart moyen ^ y/5ooo = 23,0329.
Si, en faisant 1000 séries de 6000 coups, tous les écarts sont inférieurs à 20; si la valeur moyenne des écarts, au lieu d'être a3.
est Inférieure à 10, on pourrait affirmer avec une certitude presque infaillible l'existence d'une cause régulatrice corrigeant les écarts du hasard.
75. Lorsque la probabilité d'un événement est variable d'une épreuve à l'autre, le théorème de Bernoulli n'est plus applicable.
La généralisation proposée par Poisson sous le nom de loi des grands nombres manque non seulement de rigueur, mais de précision. Les conditions supposées dans l'énoncé échappent par le vague à toute appréciation mathématique. On peut, dans un cas simple et digne d'intérêt, appliquer le théorème de Bernoulli, malgré la variation des chances pendant les épreuves.
Supposons une urne contenant un nombre X de boules blanches ou noires, la probabilité d'en extraire une boule blanche est p^ celle d'extraire une boule noire est q.
On fait [JL tirages sans remettre dans l'urne les boules qui en sortent. Si X et [jl sont de grands nombres, il est très probable que le rapport du nombre des boules blanches sorties à celui des
boules noires différera peu de -• En ne remettant pas les boules,
on change à chaque épreuve la probabilité de choisir une boule blanche; mais ce changement est, en quelque sorte, un régulateur de la proportion prévue par le théorème de Bernoulli. Quand la proportion d'une des couleurs est inférieure à ce rapport normal, la probabilité pour elle augmente et les épreuves suivantes ont plus de chance pour corriger l'irrégularité.
On peut préciser cette indication.
Soient X le nombre total des boules, \p celui des boules blanches, \q celui des boules noires. La probabilité de tirer sur [X épreuves \kp — k boules blanches et \kq -^ k boules noires est, comme on le voit aisément,
