CHÀP. V. DÉMONSTRATIONS DU THÉORÈME DE BERNOULLI

sivement les valeurs x^, x^f • . ., x^^ la moyenne arithmétique

différera peu, si [x est grand, de la valeur probable G.

Rien n'est certain, bien entendu, mais la valeur probable du carré de la différence

tend vers zéro lorsque [x augmente. Lorsque la valeur probable d'une grandeur tend vers zéro, on n'en peut rien conclure. De grandes valeurs positives peuvent avoir grande probabilité, aussi bien que les grandes valeurs négatives qui les compensent; il en est autrement quand la valeur probable d'un carré est très petite. Toutes les valeurs possibles étant de même signe, aucune ne peut à la fois n'être pas très petite et ne pas avoir une probabilité très petite. La probabilité pour que la valeur surpasse un nombre donné tend nécessairement vers zéro.

Nous considérerons, dans le cas actuel, l'expression essentiellement positive

pour démontrer que sa valeur probable tend vers zéro.

L'expression (i) peut être remplacée, en adoptant une notation bien connue, par

X|, )v2» •••» ^/i désignant, comme on l'a supposé, les valeurs possibles de Xi, X29 ...j Xfi et/?i,/)2, ^^y fn leurs probabilités, la valeur probable de or^ est

Représentons-la par H; a:J, a:^, . . ., .r^ ont même valeur probable, puisque rien ne les distingue. La valeur probable de Sx* est donc jxH.

La valeur probable de XiXe est (48) le produit de la valeur probable G de xi par la valeur égale G de x^. La valeur probable de Xi est G.

La valeur probable de la somme (2) est donc

fX JX« JX

qui se réduit à

Quels que soient H et G, elle tend vers zéro lorsque ix augmente.