Le théorème précédent a de nombreuses applications

Pierre joue à un jeu de hasard. S'il gagne, il recevra une somme by enjeu de son adversaire; s'il perd, il donnera une somme a, La probabilité de gagner est jd, celle de perdre est ^. Le gain probable à chaque partie est

• pb — qa = G,

La valeur probable du carré du gain est

pb^-jf- q{ — ay=pb*-\- ^a*= H.

Si donc, après [x parties, on nomme X le gain, positif ou négatif, résultant de ces [jl parties, la valeur probable de

est

H — G« pb^-^qa^^(pb — gay (a-hb)^ = ^- i ± 1 — '— =pq •

En multipliant l'expression (4) par (x^, la valeur probable sera

multipliée par [x^, et

lipq(a'h 6)*

est, par conséquent, la valeur probable de

[X-ii{pb-qa)]^.