CHAP. V. — DÉMONSTRATIONS DU THÉORÈME DE BERNOULLI
Si Ton représente ce carré (5) par e^, on aura
(6) X=fx(/)6 — qa)±iz.
Le gain X fait sur [x parties à un jeu quelconque est donc représenté par la somme de deux, termes : Tun, complètement connu, proportionnel au nombre des parties jouées ; Tautre e, qui dépend du hasard et dont le signe même est inconnu.
Un tel énoncé, si l'on n'ajoutait rien, serait insignifiant. Ignorer dans une somme la valeur et le signe de l'un des termes, c'est ne rien savoir sur la somme. Mais, sans connaître £, nous avons sur lui un renseignement. La valeur probable de e^ est [A.(a-f- by^pq^
elle est proportionnelle à [x^ celle de s est donc de l'ordre de y/ p. et le second terme de (6) deviendra de plus en plus petit par rapport au premier lorsque [x croîtra sans limite.
Nous comparons, il est vrai, la valeur certaine du premier terme à la valeur probable du second. Nos conclusions peuvent être en défaut, mais, lorsque [x augmente, la probabilité pour qu'il en soit ainsi tend vers zéro. Il faudrait que le hasard rendit s* infiniment grand par rapport à sa valeur probable.
Si Tîï désigne la probabilité d'une valeur supérieure à a, il en résulte dans la valeur probable de cette grandeur essentiellement positive un terme ma^, qui deviendrait à lui seul plus grand que la somme dont il fait partie, si, lorsque a augmente, rs ne devenait pas très petit.
En réduisant l'évaluation du gain fait en jx parties au premier terme
(7) X = îi(/?6 — ^a),
on pourra affirmer avec une certitude croissante que l'erreur relative tend vers zéro lorsque [x augmente sans limite.
78. Le cas où le jeu est équitable doit être traité à part. On a alors
pb — qa = o,
et le théorème est en défaut.
lOO CALCUL DES PROBABILITÉS.
Le premier terme de la valeur (6) de X étant nul, le gain fait
en UL parties se réduit à
On ne peut rien affirmer sur son signe. Quelque grand que soil a, Pierre, àunjeu équitable, peut perdre ou gagner. La valeur probable du carré du gain positif ou négatif est proportionnelle au
nombre des parties. On peut donc tenir pour certain qu'après
un grand nombre de parties la valeur moyenne — du gain fait
à chaque partie par celui des joueurs que le hasard a favorisé sera
très petite. La valeur probable de — ,» carré du gain moyen par partie, est en effet
elle tend vers zéro quand [jl augmente.
79. Le théorème démontré (77) peut s'appliquer aux épreuves successives entre deux événements contraires.
Soient/? et q les deux probabilités. Leur somme est égale à l'unité; une série de |jl épreuves amenant dans un ordre réglé par le hasard, Tun ou l'autre de ces deux événements peut donner lieu à un jeu équitable. Pierre gagnera la partie si l'événement dontla probabilité est p se présente; sa mise sera égale à />, celle de l'adversaire égale à q.
On aura, en adoptant les notations du théorème (77),
G =pq-^q{~p) = o,
Si, sur [X parties, Pierre en gagne m et en perd [jl — m, son
gain sera
mq ^ (ix — m)p = m — {xp.
La valeur probable de
CHAP. V. — DÉMONSTRATIONS DU THÉORÈME DE BERKOULLI. lOI
est donc (76)
elle tend vers zéro lorsque [x augmente. On peut donc affirmer avec une certitude croissante que la différence entre le rapport
— et la probabilité/? tend vers zéro lorsque le nombre des épreuves
augmente. C'est le théorème de Bernoulli.
La valeur probable de l'expression (8) a été obtenue déjà sous
une autre forme.
La valeur probable (62) du carré de l'écart sur |jl épreuves est ^pq- Cet écart est la différence m — ^p. La valeur probable de
(iw — ^pY étant [A/?y, celle de
est ^'
C'est le même théorème.
80. Nous donnerons du théorème de Bernoulli une démonstration plus simple encore que la précédente.
Supposons deux événements contraires ayant pour probabilités p et q. Sur [jl épreuves faites entre eux, les nombres d'arrivées les plus probables sont \kp et ^-q] nommons écart la différence entre le nombre d'arrivées dç l'événement dont la probabilité est/? et le nombre le plus probable |jljd.
On promet à Pierre une somme égale à la valeur absolue de l'écart, et non plus à son carré comme on l'a supposé dans la démonstration précédente. Sans calculer Tespérance mathématique de Pierre, nous allons démontrer que, le nombre [a des épreuves grandissant indéfiniment, cette espérance est très petite par rapport à [JL.
Désignons par ç((Jt) l'espérance mathématique de Pierre.
Si l'on double le nombre des épreuves, <f (jJt) deviendra ç(2[x), très différent de 2cp([JL).
Partageons, en effet, les 2[a épreuves en deux séries de [jl.
L'écart peut, dans les deux séries, avoir le même signe ou des signes différents. Dans le premier cas, l'écart total est la somme des deux écarts partiels; dans le second, il est leur différence. L'espérance mathématique, si l'on sait que le premier cas se produit, est 2(p([x); dans le second, elle est évidemment plus petite. Désignons-la par 2acp([jL), a étant plus petit que l'unité.
Soient/?! la probabilité pour que, sur [jl épreuves, l'écart soit positif, Çi pour qu'il soit négatif; la probabilité pour que, dans les deux séries de [jl épreuves, les deux signes de l'écart soient semblables est p] -h q\', pour qu'ils soient différents, elle est 9.p^q^, On en conclut
On a
par conséquent
cp(2[jL) est donc plus petit que 2?p(ijL).
La somme
ne pourrait tendre vers l'unité lorsque [jl augmente que dans deux cas : ou bien l'une des probabilités p^ ou q^ tend vers zéro, ou bien a tend lui-même vers l'unité.
La première hypothèse est impossible. Si, en effet, y?j tend vers zéro, il en résulterait que, sur un nombre d'épreuves indéfiniment croissant, on pourrait regarder comme certain que l'écart sera d'un certain signe. En jouant alors au jeu équitable, défini (79), l'un des joueurs, après un grand nombre de parties, serait certain de gagner.
La seconde hypothèse est également inadmissible.
L'espérance mathématique de celui qui attend la différence de deux écarts ne peut être la même que s'il attend leur somme.
Nous pouvons donc écrire
G< étant plus petit que l'unité et ne s'en approchant pas indéfiniment.
CHÀP. V. — DÉMONSTRATIONS DU THÉORÈME DE BERNOULLI. Io3
On en conclut
Ç(4|X)=2G, «p(2fl),
(^{l^H)= 2GrtÇ(2'*-V)
et, en multipliant ces équations,
ç(2«[l) = 2'»GiG4...Grt<p(fJL).
On en conclut
—- = Oi (jf . . .U/i •
Les facteurs Gi, Gj, . . . , G^ étant plus petits que l'unité et ne tendant pas vers Tunité, leur produit tend vers zéro. En posant 2"[x = z, on a, lorsque z grandit sans limite,
lim ' = o.
L'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à l'écart absolu sur z épreuves est donc très petite par rapport au nombre des épreuves, et l'on peut regarder, par conséquent, comme certain qu'après un nombre indéfiniment croissant d'épreuves l'écart est infiniment petit par rapport au nombre des épreuves.
